Упр.28.34 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 1/(2·3)+1/(3·4)+1/(4·5)+…+1/(9·10);
2) 3/(2·5)+3/(5·8)+3/(8·11)+…+3/(26·29).

Подробный ответ

1) Представим каждый дробный множитель в виде разности:

$$
\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{3-2}{2\cdot 3}=\frac12-\frac13,\quad
\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{4-3}{3\cdot 4}=\frac13-\frac14,
$$
$$
\frac{1}{4\cdot 5}=\frac14-\frac15,\ \ldots,\
\frac{1}{9\cdot 10}=\frac19-\frac1{10}.
$$

Тогда сумма телескопируется:

$$
\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\left(\frac14-\frac15\right)+\cdots+\left(\frac19-\frac1{10}\right)
=\frac12-\frac1{10}.
$$

$$
\frac12-\frac1{10}=\frac{5-1}{10}=\frac{4}{10}=\frac25.
$$

2) Аналогично:

$$
\frac{3}{2\cdot 5}=\frac{5-2}{2\cdot 5}=\frac12-\frac15,\quad
\frac{3}{5\cdot 8}=\frac{8-5}{5\cdot 8}=\frac15-\frac18,
$$
$$
\frac{3}{8\cdot 11}=\frac18-\frac1{11},\ \ldots,\
\frac{3}{26\cdot 29}=\frac1{26}-\frac1{29}.
$$

Сумма также сокращается:

$$
\left(\frac12-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac18\right)+\left(\frac18-\frac1{11}\right)+\cdots+\left(\frac1{26}-\frac1{29}\right)
=\frac12-\frac1{29}.
$$

$$
\frac12-\frac1{29}=\frac{29-2}{58}=\frac{27}{58}.
$$