Упр.28.339 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) 6cos^2(x)+5sin(x)-7=0; 3) cos(2x)-3sin(x)=2;
3) sin^2(3x)+3cos(3x)=3; 4) 2tg(x/3)+2ctg(x/3)=5.

Подробный ответ

$$6\cos^2 x+5\sin x-7=0$$
Заменим $$\cos^2 x$$ через $$\sin^2 x$$:
$$6(1-\sin^2 x)+5\sin x-7=0$$
$$6\sin^2 x-5\sin x+1=0$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=5^2-4\cdot 6\cdot 1=25-24=1$$
$$\sin x_1=\frac{5-1}{2\cdot 6}=\frac13,\qquad \sin x_2=\frac{5+1}{2\cdot 6}=\frac12$$
Тогда
$$x=(-1)^n\arcsin\frac13+\pi n,\qquad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin^2 3x+3\cos 3x=3$$
Выразим $$\sin^2 3x$$ через $$\cos 3x$$:
$$1-\cos^2 3x+3\cos 3x=3$$
$$\cos^2 3x-3\cos 3x+2=0$$
$$D=3^2-4\cdot 2=9-8=1$$
$$\cos 3x_1=\frac{3-1}{2}=1,\qquad \cos 3x_2=\frac{3+1}{2}=2$$
Значение $$\cos 3x_2=2$$ невозможно, поэтому остаётся только
$$\cos 3x=1$$
$$3x=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{2\pi n}{3},\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$\cos 2x-3\sin x=2$$
Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:
$$1-2\sin^2 x-3\sin x=2$$
$$2\sin^2 x+3\sin x+1=0$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$$
$$\sin x_1=\frac{-3-1}{2\cdot 2}=-1,\qquad \sin x_2=\frac{-3+1}{2\cdot 2}=-\frac12$$
Тогда
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
$$2\tg\frac{x}{3}+2\ctg\frac{x}{3}=5$$
Положим $$t=\tg\frac{x}{3}$$, тогда $$\ctg\frac{x}{3}=\frac{1}{t}$$:
$$2t+\frac{2}{t}=5$$
$$2t^2-5t+2=0$$
$$D=5^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9$$
$$t_1=\frac{5-3}{2\cdot 2}=\frac12,\qquad t_2=\frac{5+3}{2\cdot 2}=2$$
Значит,
$$\tg\frac{x}{3}=\frac12 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{3}=2$$
Отсюда
$$\frac{x}{3}=\arctg\frac12+\pi n,\qquad \frac{x}{3}=\arctg 2+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z$$
$$x=3\arctg\frac12+3\pi n,\qquad x=3\arctg 2+3\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$