Упр.28.338 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=2arcsin(x)-п/4; 2) y=5-3arctg(x/2).

1) Для функции $$y=2\arcsin x-\frac{\pi}{4}$$ учитываем, что

$$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}.$$

Умножим неравенство на $$2$$:

$$-\pi \le 2\arcsin x \le \pi.$$

Вычтем $$\frac{\pi}{4}$$:

$$-\pi-\frac{\pi}{4}\le 2\arcsin x-\frac{\pi}{4}\le \pi-\frac{\pi}{4}.$$

Получаем

$$-\frac{5\pi}{4}\le y\le \frac{3\pi}{4}.$$

Значит,

$$E(y)=\left[-\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right].$$

2) Для функции $$y=5-3\arctg\frac{x}{2}$$ знаем, что

$$-\frac{\pi}{2}<\arctg\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}.$$

Умножим на $$-3$$, при этом знаки неравенства меняются:

$$-\frac{3\pi}{2}< -3\arctg\frac{x}{2}<\frac{3\pi}{2}.$$

Прибавим $$5$$:

$$5-\frac{3\pi}{2}< 5-3\arctg\frac{x}{2}<5+\frac{3\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$E(y)=\left(5-\frac{3\pi}{2};\,5+\frac{3\pi}{2}\right).$$

Ответ

1) $$\left[-\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$; 2) $$\left(5-\frac{3\pi}{2};\,5+\frac{3\pi}{2}\right).$$