Упр.28.335 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=arcsin(x-5); 4) y=v(-arccos(x));
2) y=arccos((x^2+1)/(2x)); 5) y=arctgv(6-x);
3) y=arccos(x^2-3); 6) y=arccos(-1-x^2).

1. Для функции $$y=\arcsin(x-5)$$ аргумент должен удовлетворять условию

   $$-1 \le x-5 \le 1.$$

   Тогда

   $$4 \le x \le 6.$$

   Ответ: $$D(x)=[4;6].$$

2. Для функции $$y=\arccos\frac{x^2+1}{2x}$$ нужно, чтобы

   $$-1 \le \frac{x^2+1}{2x} \le 1, \qquad x \ne 0.$$

   Решим систему неравенств.

   1) $$\frac{x^2+1}{2x}\ge -1$$

   $$\frac{x^2+2x+1}{2x}\ge 0,$$

   $$\frac{(x+1)^2}{2x}\ge 0.$$

   Отсюда $$x>0$$ или $$x=-1.$$

   2) $$\frac{x^2+1}{2x}\le 1$$

   $$\frac{x^2-2x+1}{2x}\le 0,$$

   $$\frac{(x-1)^2}{2x}\le 0.$$

   Отсюда $$x<0$$ или $$x=1.$$

   Пересечение полученных множеств:

   $$D(x)=\{-1;1\}.$$

3. Для функции $$y=\arccos(x^2-3)$$ должно выполняться

   $$-1 \le x^2-3 \le 1.$$

   Решим по частям:

   $$x^2-3\ge -1 \;\Rightarrow\; x^2\ge 2 \;\Rightarrow\; x\le -\sqrt2 \text{ или } x\ge \sqrt2,$$

   $$x^2-3\le 1 \;\Rightarrow\; x^2\le 4 \;\Rightarrow\; -2\le x\le 2.$$

   Пересечение:

   $$D(x)=[-2;-\sqrt2]\cup[\sqrt2;2].$$

4. Для функции $$y=\sqrt{-\arccos x}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$-\arccos x \ge 0,$$

   то есть

   $$\arccos x \le 0.$$

   Так как $$\arccos x \in [0;\pi],$$ то возможно только

   $$\arccos x=0,$$

   откуда

   $$x=1.$$

   Ответ: $$D(x)=\{1\}.$$

5. Для функции $$y=\arctg\sqrt{6-x}$$ нужно, чтобы

   $$6-x\ge 0.$$

   Тогда

   $$x\le 6.$$

   Ответ: $$D(x)=(-\infty;6].$$

6. Для функции $$y=\arccos(-1-x^2)$$ должно выполняться

   $$-1 \le -1-x^2 \le 1.$$

   Рассмотрим левую часть:

   $$-1-x^2\ge -1 \;\Rightarrow\; x^2\le 0 \;\Rightarrow\; x=0.$$

   Правая часть выполняется при всех $$x$$, так как

   $$-1-x^2\le 1.$$

   Следовательно,

   Ответ: $$D(x)=\{0\}.$$