Упр.28.333 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(2a)+2sin(3п/4-a)cos(3п/4+a)=-1;
2) sin(8a)sin(4a)+cos(7a)cos(5a)=cos(3a)cos(a).

1. Преобразуем произведение в сумму:
   $$2\sin\left(\frac{3\pi}{4}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4}+a\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)+\sin(-2a).$$

   Тогда
   $$
   \sin 2a+2\sin\left(\frac{3\pi}{4}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4}+a\right)
   =\sin 2a+\sin\frac{3\pi}{2}+\sin(-2a).
   $$

   Так как $$\sin(-2a)=-\sin 2a,$$ получаем
   $$
   \sin 2a+\sin\frac{3\pi}{2}-\sin 2a=\sin\frac{3\pi}{2}=-1.
   $$

   Тождество доказано.

2. Используем формулы произведения в сумму:
   $$
   \sin 8a\sin 4a=\frac12\left(\cos 4a-\cos 12a\right),
   $$
   $$
   \cos 7a\cos 5a=\frac12\left(\cos 12a+\cos 2a\right).
   $$

   Складываем:
   $$
   \sin 8a\sin 4a+\cos 7a\cos 5a
   =\frac12\left(\cos 4a-\cos 12a+\cos 12a+\cos 2a\right)
   =\frac12\left(\cos 4a+\cos 2a\right).
   $$

   Применим формулу суммы косинусов:
   $$
   \frac12\left(\cos 4a+\cos 2a\right)=\cos 3a\cos a.
   $$

   Следовательно, тождество доказано.

Ответ

1) $$\sin 2a+2\sin\left(\frac{3\pi}{4}-a\right)\cos\left(\frac{3\pi}{4}+a\right)=-1;$$
2) $$\sin 8a\sin 4a+\cos 7a\cos 5a=\cos 3a\cos a.$$