Упр.28.332 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (sin(3a)/sin(5a)-cos(3a)/cos(5a))·(sin(7a)-sin(3a))/(cos(4a)-1);
2) (1-cos(2a-п)+cos(4a+2п)-sin(3п/2-6a))/(sin(п/2+2a)+1-2sin^2(2п-2a));
3) cos^2(5п/12+a/2)-sin^2(п/12+a/2).

1. $$\left(\frac{\sin 3a}{\sin 5a}-\frac{\cos 3a}{\cos 5a}\right)\cdot \frac{\sin 7a-\sin 3a}{\cos 4a-1}$$

   Приведём к общему знаменателю в первой скобке:
   $$\frac{\sin 3a\cos 5a-\cos 3a\sin 5a}{\sin 5a\cos 5a}=\frac{\sin(3a-5a)}{\sin 5a\cos 5a}=\frac{-\sin 2a}{\sin 5a\cos 5a}.$$

   Разность синусов:
   $$\sin 7a-\sin 3a=2\sin 2a\cos 5a.$$

   А также
   $$\cos 4a-1=2\cos^2 2a-2\sin^2 2a-2\cos^2 2a-2\sin^2 2a=-2\sin^2 2a.$$

   Тогда
   $$
   \frac{-\sin 2a}{\sin 5a\cos 5a}\cdot \frac{2\sin 2a\cos 5a}{-2\sin^2 2a}
   =\frac{1}{\sin 5a}.
   $$

2. $$\frac{1-\cos(2a-\pi)+\cos(4a+2\pi)-\sin\left(\frac{3\pi}{2}-6a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)+1-2\sin^2(2\pi-2a)}$$

   Используем формулы приведения:
   $$\cos(2a-\pi)=-\cos 2a,\quad \cos(4a+2\pi)=\cos 4a,$$
   $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-6a\right)=-\cos 6a,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2}+2a\right)=\cos 2a,$$
   $$\sin(2\pi-2a)=-\sin 2a.$$

   Тогда
   $$
   \frac{1+\cos 2a+\cos 4a+\cos 6a}{\cos 2a+1-2\sin^2 2a}.
   $$

   Преобразуем:
   $$1-2\sin^2 2a=\cos 4a,$$
   значит знаменатель равен
   $$\cos 2a+\cos 4a.$$

   Числитель:
   $$
   1+\cos 2a+\cos 4a+\cos 6a
   =(1+\cos 6a)+(\cos 2a+\cos 4a)
   =2\cos^2 3a+2\cos 3a\cos a.
   $$

   Тогда
   $$
   \frac{2\cos^2 3a+2\cos 3a\cos a}{\cos 2a+\cos 4a}
   =\frac{2\cos 3a(\cos 3a+\cos a)}{2\cos 3a\cos a}
   =2\cos 2a.
   $$

3. $$\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{\pi}{12}+\frac{a}{2}\right)$$

   Используем формулы:
   $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}.$$

   Тогда
   $$
   \frac{1+\cos\left(\frac{5\pi}{6}+a\right)}{2}
   -\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{6}+a\right)}{2}
   =\frac{\cos\left(\frac{5\pi}{6}+a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+a\right)}{2}.
   $$

   По формуле суммы косинусов:
   $$
   \cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2},
   $$
   получаем
   $$
   \frac{2\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\cos\frac{\pi}{3}}{2}
   =\cos\left(\frac{\pi}{2}+a\right)\cdot \frac12
   =-\frac12\sin a.
   $$

Ответ

1) $$\frac{1}{\sin 5a}$$

2) $$2\cos 2a$$

3) $$-\frac12\sin a$$