Упр.28.329 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.329. Найдите sin(2a), если 2tg^2(a)-7tg(a)+3=0 и 5п/4 < a < 3п/2.

Решим квадратное уравнение относительно $$\tg a$$:

$$2\tg^2 a-7\tg a+3=0.$$

Дискриминант:

$$D=7^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25.$$

Тогда

$$\tg a_{1,2}=\frac{7\pm 5}{2\cdot 2},$$

откуда

$$\tg a_1=\frac{1}{2}, \qquad \tg a_2=3.$$

Так как $$\frac{5\pi}{4}

$$\tg a=3.$$

Найдём $$\sin a$$ и $$\cos a$$. В третьей четверти они оба отрицательны:

$$\cos a=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}}=-\frac{1}{\sqrt{1+9}}=-\frac{1}{\sqrt{10}},$$

$$\sin a=\tg a\cdot \cos a=3\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)=-\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

Теперь вычислим:

$$\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$$

Ответ

$$\frac{3}{5}$$