Упр.28.328 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) cos(a)cos(2a)cos(4a)cos(8a)cos(16a)cos(32a)=sin(64a)/(64sin(a));
2) cos(п/15)cos(2п/15)cos(3п/15)·…·cos(7п/15)=1/128.

Подробный ответ

1) Используем формулу

$$\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

Тогда последовательно получаем:

$$
\begin{aligned}
64\sin a\cos a\cos 2a\cos 4a\cos 8a\cos 16a\cos 32a
&=32\sin 2a\cos 2a\cos 4a\cos 8a\cos 16a\cos 32a \\
&=16\sin 4a\cos 4a\cos 8a\cos 16a\cos 32a \\
&=8\sin 8a\cos 8a\cos 16a\cos 32a \\
&=4\sin 16a\cos 16a\cos 32a \\
&=2\sin 32a\cos 32a \\
&=\sin 64a.
\end{aligned}
$$

Делим обе части на $$64\sin a$$:

$$\cos a\cos 2a\cos 4a\cos 8a\cos 16a\cos 32a=\frac{\sin 64a}{64\sin a}.$$

2) Рассмотрим произведение

$$P=\cos\frac{\pi}{15}\cos\frac{2\pi}{15}\cos\frac{3\pi}{15}\cdots\cos\frac{7\pi}{15}.$$

Умножим его на $$128\sin\frac{\pi}{15}$$ и последовательно применим формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

$$
\begin{aligned}
128\sin\frac{\pi}{15}\,P
&=64\sin\frac{2\pi}{15}\cos\frac{2\pi}{15}\cos\frac{3\pi}{15}\cdots\cos\frac{7\pi}{15} \\
&=32\sin\frac{4\pi}{15}\cos\frac{3\pi}{15}\cos\frac{4\pi}{15}\cdots\cos\frac{7\pi}{15} \\
&=16\sin\frac{8\pi}{15}\cos\frac{3\pi}{15}\cos\frac{5\pi}{15}\cos\frac{6\pi}{15}\cos\frac{7\pi}{15} \\
&=16\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{30}\right)\cos\frac{3\pi}{15}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{6\pi}{15}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{30}\right) \\
&=16\sin\frac{3\pi}{15}\cos\frac{\pi}{30}\cos\frac{3\pi}{15}\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{6\pi}{15}\sin\frac{\pi}{30} \\
&=4\sin\frac{3\pi}{15}\cos\frac{6\pi}{15}\cdot\frac12 \\
&=\sin\frac{\pi}{15}\sin\frac{12\pi}{15}.
\end{aligned}
$$

Так как $$\sin\frac{12\pi}{15}=\sin\left(\pi-\frac{12\pi}{15}\right)=\sin\frac{3\pi}{15},$$ то получаем

$$128\sin\frac{\pi}{15}\,P=\sin\frac{\pi}{15}\sin\frac{12\pi}{15}.$$

Следовательно,

$$P=\frac{1}{128}.$$