Упр.28.326 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg(2a)(1+cos(4a))-sin(4a)=0; 2) (1+cos(a)+sin(a))/(1-cos(a)+sin(a))=ctg(a/2).

1) Преобразуем левую часть:

$$
\tg 2a(1+\cos 4a)-\sin 4a
=
\frac{\sin 2a}{\cos 2a}(1+\cos 4a)-\sin 4a.
$$

Используем формулу $$1+\cos 4a=2\cos^2 2a$$ и формулу $$\sin 4a=2\sin 2a\cos 2a$$:

$$
\frac{\sin 2a}{\cos 2a}\cdot 2\cos^2 2a-2\sin 2a\cos 2a
=
2\sin 2a\cos 2a-2\sin 2a\cos 2a=0.
$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем дробь, используя формулы половинного угла:

$$
\frac{1+\cos a+\sin a}{1-\cos a+\sin a}
=
\frac{2\cos^2 \frac a2+2\sin \frac a2\cos \frac a2}{2\sin^2 \frac a2+2\sin \frac a2\cos \frac a2}.
$$

Вынесем общий множитель:

$$
\frac{2\cos \frac a2\left(\cos \frac a2+\sin \frac a2\right)}{2\sin \frac a2\left(\sin \frac a2+\cos \frac a2\right)}
=
\frac{\cos \frac a2}{\sin \frac a2}
=
\ctg \frac a2.
$$

Тождество доказано.

Ответ

$$
1)\ \tg 2a(1+\cos 4a)-\sin 4a=0;
\qquad
2)\ \frac{1+\cos a+\sin a}{1-\cos a+\sin a}=\ctg \frac a2.
$$