Упр.28.321 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.321. Вычислите (1+ctg(а))(1+ctg(в)), если а+в=3п/4, а > 0, в > 0.

Пусть $$\alpha+\beta=\frac{3\pi}{4}, \quad \alpha>0,\ \beta>0.$$ Тогда

$$
\ctg\beta=\ctg\left(\frac{3\pi}{4}-\alpha\right)
=\frac{1+\tg\frac{3\pi}{4}\cdot\tg\alpha}{\tg\frac{3\pi}{4}-\tg\alpha}
=\frac{1-\tg\alpha}{-1-\tg\alpha}
=\frac{\tg\alpha-1}{1+\tg\alpha}.
$$

Теперь найдём значение выражения:

$$
(1+\ctg\alpha)(1+\ctg\beta)
=\left(1+\frac{1}{\tg\alpha}\right)\left(1+\frac{\tg\alpha-1}{1+\tg\alpha}\right).
$$

Упростим:

$$
\left(1+\frac{1}{\tg\alpha}\right)\left(\frac{1+\tg\alpha+\tg\alpha-1}{1+\tg\alpha}\right)
=\left(1+\frac{1}{\tg\alpha}\right)\left(\frac{2\tg\alpha}{1+\tg\alpha}\right)
=\frac{\tg\alpha+1}{\tg\alpha}\cdot\frac{2\tg\alpha}{1+\tg\alpha}=2.
$$

Ответ

$$2$$