Упр.28.318 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.318. Дано: tg(5°+a)=1/3, 0° < a < 40°. Найдите cos(50°+a).
Обозначим $$\alpha=5^\circ+a.$$ Тогда $$\tg \alpha=\frac13.$$
Найдём $$\cos \alpha$$ и $$\sin \alpha$$. Так как $$0^\circ
Используем формулу:
$$\cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac19}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{10}{9}}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$
Тогда
$$\sin \alpha=\tg \alpha\cdot \cos \alpha=\frac13\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$$
Теперь вычислим:
$$\cos(50^\circ+a)=\cos(45^\circ+\alpha).$$
По формуле косинуса суммы:
$$\cos(45^\circ+\alpha)=\cos45^\circ\cos\alpha-\sin45^\circ\sin\alpha.$$
Подставим значения:
$$\cos(50^\circ+a)=\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt2}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{2}{2\sqrt5}=\frac{\sqrt5}{5}.$$
Ответ
$$\frac{\sqrt5}{5}$$
