Упр.28.315 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v3sin(a)-cos(a); 2) 4sin(a)-3cos(a).

1) Преобразуем выражение:

$$\sqrt{3}\sin a-\cos a=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin a-\frac12\cos a\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{6}\sin a-\sin\frac{\pi}{6}\cos a\right).$$

По формуле $$\sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$$ получаем:

$$\sqrt{3}\sin a-\cos a=2\sin\left(a-\frac{\pi}{6}\right).$$

Так как $$-1\le \sin\left(a-\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то наибольшее значение выражения равно $$2.$$

2) Аналогично:

$$4\sin a-3\cos a=5\left(\frac45\sin a-\frac35\cos a\right)=5\left(\cos\alpha\sin a-\sin\alpha\cos a\right),$$

где $$\cos\alpha=\frac45,\quad \sin\alpha=\frac35.$$

Тогда

$$4\sin a-3\cos a=5\sin(a-\alpha).$$

Поскольку $$-1\le \sin(a-\alpha)\le 1,$$ наибольшее значение выражения равно $$5.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$5$$.