Упр.28.314 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) ctg(a)-ctg(2a); 2) cos(2a)/cos(a)-sin(2a)/sin(a).

1. $$\ctg a-\ctg 2a=\frac{\cos a}{\sin a}-\frac{\cos 2a}{\sin 2a}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\ctg a-\ctg 2a=\frac{\cos a\sin 2a-\cos 2a\sin a}{\sin a\sin 2a}$$

   В числителе используем формулу синуса разности:
   $$\cos a\sin 2a-\cos 2a\sin a=\sin(2a-a)=\sin a$$

   Тогда
   $$\ctg a-\ctg 2a=\frac{\sin a}{\sin a\sin 2a}=\frac{1}{\sin 2a}$$

2. $$\frac{\cos 2a}{\cos a}-\frac{\sin 2a}{\sin a}=\frac{\cos 2a\sin a-\sin 2a\cos a}{\sin a\cos a}$$

   В числителе:
   $$\cos 2a\sin a-\sin 2a\cos a=-\bigl(\sin 2a\cos a-\cos 2a\sin a\bigr)=-\sin(2a-a)=-\sin a$$

   Значит,
   $$\frac{\cos 2a}{\cos a}-\frac{\sin 2a}{\sin a}=\frac{-\sin a}{\sin a\cos a}=-\frac{1}{\cos a}$$

Ответ

1) $$\frac{1}{\sin 2a}$$; 2) $$-\frac{1}{\cos a}$$.