Упр.28.313 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (sin(45°+а)+cos(45°+а))/(sin(45°+а)-cos(45°+а))=ctg(а);
2) (cos(а-в)-2sin(а)sin(в))/(sin(а-в)+2sin(в)cos(а))=ctg(а+в);
3) sin(12а)ctg(6а)-cos(12а)=1;
4) 1-(tg(а)+tg(в))ctg(а+в)=tg(а)tg(в).

1. $$\frac{\sin(45^\circ+a)+\cos(45^\circ+a)}{\sin(45^\circ+a)-\cos(45^\circ+a)}$$
   $$=\frac{\sin(45^\circ+a)+\sin(45^\circ-a)}{\sin(45^\circ+a)-\sin(45^\circ-a)}$$
   $$=\frac{2\sin45^\circ\cos a}{2\cos45^\circ\sin a}$$
   $$=\frac{\sqrt2\cos a}{\sqrt2\sin a}=\ctg a.$$

2. $$\frac{\cos(a-b)-2\sin a\sin b}{\sin(a-b)+2\sin b\cos a}$$
   $$=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b-2\sin a\sin b}{\sin a\cos b-\cos a\sin b+2\sin b\cos a}$$
   $$=\frac{\cos a\cos b-\sin a\sin b}{\sin a\cos b+\cos a\sin b}$$
   $$=\frac{\cos(a+b)}{\sin(a+b)}=\ctg(a+b).$$

3. $$\sin 12a\ctg 6a-\cos 12a$$
   $$=\sin 12a\cdot\frac{\cos 6a}{\sin 6a}-\cos 12a$$
   $$=2\sin 6a\cos 6a\cdot\frac{\cos 6a}{\sin 6a}-\cos 12a$$
   $$=2\cos^2 6a-\cos 12a.$$

   Так как $$\cos 12a=\cos^2 6a-\sin^2 6a,$$ то
   $$2\cos^2 6a-(\cos^2 6a-\sin^2 6a)=\cos^2 6a+\sin^2 6a=1.$$

4. $$1-(\tg a+\tg b)\ctg(a+b)$$
   $$=1-\left(\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}\right)\ctg(a+b)$$
   $$=1-\frac{\sin a\cos b+\sin b\cos a}{\cos a\cos b}\cdot\frac{\cos(a+b)}{\sin(a+b)}$$
   $$=1-\frac{\sin(a+b)}{\cos a\cos b}\cdot\frac{\cos(a+b)}{\sin(a+b)}$$
   $$=1-\frac{\cos(a+b)}{\cos a\cos b}.$$

   Далее
   $$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,$$
   значит
   $$1-\frac{\cos a\cos b-\sin a\sin b}{\cos a\cos b}=\frac{\sin a\sin b}{\cos a\cos b}=\tg a\,\tg b.$$

Ответ

1) $$\ctg a$$; 2) $$\ctg(a+b)$$; 3) $$1$$; 4) $$\tg a\,\tg b$$.