Упр.28.312 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.312. Дано: tg(a)+ctg(a)=b. Найдите tg^4(a)+ctg^4(a).

Обозначим $$\tg a+\ctg a=b.$$ Тогда

$$
(\tg a+\ctg a)^2=\tg^2 a+2\tg a\cdot \ctg a+\ctg^2 a=b^2.
$$

Так как $$\tg a\cdot \ctg a=1,$$ получаем

$$
\tg^2 a+\ctg^2 a=b^2-2.
$$

Теперь найдём сумму четвёртых степеней:

$$
\tg^4 a+\ctg^4 a=(\tg^2 a+\ctg^2 a)^2-2\tg^2 a\cdot \ctg^2 a.
$$

Подставим найденное значение и учтём, что $$\tg^2 a\cdot \ctg^2 a=1$$:

$$
\tg^4 a+\ctg^4 a=(b^2-2)^2-2=b^4-4b^2+4-2=b^4-4b^2+2.
$$

Ответ

$$b^4-4b^2+2$$