Упр.28.311 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.311. Дано: sin(a)+cos(a)=b. Найдите 1/sin^4(a)+1/cos^4(a).

Подробный ответ

Используем тождество:

$$
\frac{1}{\sin^4 a}+\frac{1}{\cos^4 a}
=\frac{\cos^4 a+\sin^4 a}{\sin^4 a\cos^4 a}.
$$

Числитель преобразуем так:

$$
\cos^4 a+\sin^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a
=1-2\sin^2 a\cos^2 a.
$$

Знаменатель:

$$
\sin^4 a\cos^4 a=(\sin a\cos a)^4.
$$

Так как $$\sin a+\cos a=b,$$ то

$$
(\sin a+\cos a)^2=\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a=b^2,
$$
$$
1+2\sin a\cos a=b^2,
$$
$$
\sin a\cos a=\frac{b^2-1}{2}.
$$

Тогда

$$
1-2\sin^2 a\cos^2 a
=1-2\left(\frac{b^2-1}{2}\right)^2
=1-\frac{(b^2-1)^2}{2},
$$
$$
(\sin a\cos a)^4=\left(\frac{b^2-1}{2}\right)^4=\frac{(b^2-1)^4}{16}.
$$

Следовательно,

$$
\frac{1}{\sin^4 a}+\frac{1}{\cos^4 a}
=\frac{1-\frac{(b^2-1)^2}{2}}{\frac{(b^2-1)^4}{16}}
=\frac{16-8(b^2-1)^2}{(b^2-1)^4}.
$$

Раскроем скобки:

$$
16-8(b^2-1)^2
=16-8(b^4-2b^2+1)
=8(1-b^4+2b^2).
$$

$$
\frac{1}{\sin^4 a}+\frac{1}{\cos^4 a}
=\frac{8(1-b^4+2b^2)}{(b^2-1)^4}.
$$