Упр.28.310 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(1-cos^2(a/2))-v(1-sin^2(a/2)), если п < a < 2п; 2) v((1+sin(a))/(1-sin(a))+v((1-sin(a))/(1+sin(a)), если 180° < a < 270°.

1. $$\sqrt{1-\cos^2\frac a2}-\sqrt{1-\sin^2\frac a2}=\sqrt{\sin^2\frac a2}-\sqrt{\cos^2\frac a2}$$

   $$=\left|\sin\frac a2\right|-\left|\cos\frac a2\right|$$

   Так как $$\pi<a<2\pi,$$ то $$\frac{\pi}{2}<\frac a2<\pi,$$ значит,
   $$\sin\frac a2>0,\qquad \cos\frac a2<0.$$

   Тогда
   $$\left|\sin\frac a2\right|-\left|\cos\frac a2\right|=\sin\frac a2+\cos\frac a2.$$

2. $$\sqrt{\frac{1+\sin a}{1-\sin a}}+\sqrt{\frac{1-\sin a}{1+\sin a}}$$

   Приведём к общему знаменателю под корнем:
   $$\sqrt{\frac{(1+\sin a)^2}{1-\sin^2 a}}+\sqrt{\frac{(1-\sin a)^2}{1-\sin^2 a}}$$

   Так как $$1-\sin^2 a=\cos^2 a,$$ получаем
   $$\frac{|1+\sin a|}{|\cos a|}+\frac{|1-\sin a|}{|\cos a|}.$$

   При $$180^\circ<a<270^\circ$$ имеем $$\sin a<0,$$ поэтому
   $$|1+\sin a|=1+\sin a,\qquad |1-\sin a|=1-\sin a,$$
   а также $$\cos a<0,$$ значит $$|\cos a|=-\cos a.$$

   Тогда
   $$\frac{1+\sin a}{-\cos a}+\frac{1-\sin a}{-\cos a}=-\frac{2}{\cos a}.$$

Ответ

1) $$\sin\frac a2+\cos\frac a2$$;
2) $$-\frac{2}{\cos a}.$$