Упр.28.309 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3cos^2(a)+2sin^2(a); 2) 3sin^2(a)-2tg(a)ctg(a).

1) Преобразуем выражение:

$$3\cos^2 a+2\sin^2 a=3\cos^2 a+2(1-\cos^2 a)=\cos^2 a+2.$$

Так как $$0\le \cos^2 a\le 1,$$ то

$$2\le \cos^2 a+2\le 3.$$

Следовательно, наименьшее значение равно $$2,$$ а наибольшее — $$3.$$

2) Рассмотрим выражение:

$$3\sin^2 a-2\tg a\ctg a.$$

Так как $$\tg a\ctg a=1$$ при тех значениях $$a,$$ где выражение определено, получаем

$$3\sin^2 a-2\tg a\ctg a=3\sin^2 a-2.$$

Но область определения задаётся условиями $$\tg a\neq 0$$ и $$\ctg a\neq 0,$$ то есть $$\sin a\neq 0$$ и $$\cos a\neq 0.$$ Поэтому $$0<\sin^2 a<1.$$

Тогда

$$-2<3\sin^2 a-2<1.$$

Значит, наименьшего и наибольшего значений у этого выражения нет: оно принимает значения только из интервала $$(-2;1).$$

Ответ

1) $$2$$ и $$3$$; 2) наименьшего и наибольшего значений не существует.