Упр.28.308 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos^2(a)+2sin^2(a)+sin^2(a)tg^2(a)=1/cos^2(a);
2) tg^2(a)-sin^2(a)=tg^2(a)sin^2(a);
3) 1+(ctg^2(a)-tg^2(a))cos^2(a)=ctg^2(a).

1. $$\cos^2 a+2\sin^2 a+\sin^2 a\tg^2 a$$
   $$=\cos^2 a+\sin^2 a+\sin^2 a+\sin^2 a\tg^2 a$$
   $$=1+\sin^2 a(1+\tg^2 a)$$
   $$=1+\sin^2 a\cdot \frac{1}{\cos^2 a}$$
   $$=1+\tg^2 a$$
   $$=\frac{1}{\cos^2 a}.$$

   Тождество доказано.

2. $$\tg^2 a-\sin^2 a$$
   $$=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}-\sin^2 a$$
   $$=\sin^2 a\left(\frac{1}{\cos^2 a}-1\right)$$
   $$=\sin^2 a(1+\tg^2 a-1)$$
   $$=\tg^2 a\sin^2 a.$$

   Тождество доказано.

3. $$1+(\ctg^2 a-\tg^2 a)\cos^2 a$$
   $$=1+\left(\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}-\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\right)\cos^2 a$$
   $$=1+\frac{\cos^4 a}{\sin^2 a}-\sin^2 a$$
   $$=\frac{\sin^2 a+\cos^4 a-\sin^4 a}{\sin^2 a}$$
   $$=\frac{\sin^2 a(1-\sin^2 a)+\cos^4 a}{\sin^2 a}$$
   $$=\frac{\sin^2 a\cos^2 a+\cos^4 a}{\sin^2 a}$$
   $$=\frac{\cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a)}{\sin^2 a}$$
   $$=\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}$$
   $$=\ctg^2 a.$$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$\cos^2 a+2\sin^2 a+\sin^2 a\tg^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}$$; 2) $$\tg^2 a-\sin^2 a=\tg^2 a\sin^2 a$$; 3) $$1+(\ctg^2 a-\tg^2 a)\cos^2 a=\ctg^2 a$$.