Упр.28.307 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) ctg(x)-sin(x)/(1-cos(x)); 3) sin^4(a)-sin^2(a)+cos^2(a);
2) sin(ф)/(1+cos(ф))+(1-cos(ф))/sin(ф); 4) tg(a)/(tg(a)+ctg(a)).

1. $$\ctg x-\frac{\sin x}{1-\cos x}=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{1-\cos x}$$

   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{\cos x(1-\cos x)-\sin^2 x}{\sin x(1-\cos x)}$$

   Используем тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:
   $$\frac{\cos x-\cos^2 x-\sin^2 x}{\sin x(1-\cos x)}=\frac{\cos x-1}{\sin x(1-\cos x)}=-\frac{1}{\sin x}$$

2. $$\frac{\sin \varphi}{1+\cos \varphi}+\frac{1-\cos \varphi}{\sin \varphi}=
   \frac{\sin^2 \varphi+(1-\cos^2 \varphi)}{\sin \varphi(1+\cos \varphi)}$$

   Так как $$1-\cos^2 \varphi=\sin^2 \varphi$$, получаем:
   $$\frac{\sin^2 \varphi+\sin^2 \varphi}{\sin \varphi(1+\cos \varphi)}=
   \frac{2\sin \varphi}{1+\cos \varphi}$$

   Используем формулу половинного угла:
   $$\frac{2\sin \varphi}{1+\cos \varphi}
   =\frac{4\sin \frac{\varphi}{2}\cos \frac{\varphi}{2}}{2\cos^2 \frac{\varphi}{2}}
   =2\tg \frac{\varphi}{2}$$

3. $$\sin^4 a-\sin^2 a+\cos^2 a=\sin^2 a(\sin^2 a-1)+\cos^2 a$$

   Так как $$\sin^2 a-1=-\cos^2 a$$, то
   $$\sin^2 a(\sin^2 a-1)+\cos^2 a=\sin^2 a(-\cos^2 a)+\cos^2 a$$

   $$=\cos^2 a(1-\sin^2 a)=\cos^2 a\cdot \cos^2 a=\cos^4 a$$

4. $$\frac{\tg a}{\tg a+\ctg a}=\frac{\tg a}{\tg a+\frac{1}{\tg a}}=
   \frac{\tg^2 a}{\tg^2 a+1}$$

   Используем формулу $$\tg^2 a+1=\frac{1}{\cos^2 a}$$:
   $$\frac{\tg^2 a}{\tg^2 a+1}=\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\cdot \cos^2 a=\sin^2 a$$

Ответ

1) $$-\frac{1}{\sin x}$$; 2) $$2\tg \frac{\varphi}{2}$$; 3) $$\cos^4 a$$; 4) $$\sin^2 a$$.