Упр.28.300 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=2x+sin(x); 4) f(x)=cos(x)/(x^3-1);
2) f(x)=ctg(x)/(x^2-1); 5) f(x)=tg(x)+x^2;
3) f(x)=(x^4 cos(x))/(tg(x)+ctg(x)); 6) f(x)=((2-x)cos(x))/(2-x).

Подробный ответ

$$f(x)=2x+\sin x$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}.$$
Найдём $$f(-x):$$
$$
f(-x)=2(-x)+\sin(-x)=-2x-\sin x=-f(x).
$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{\operatorname{ctg}x}{x^2-1}$$
Область определения: $$x^2-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pm 1.$$
Найдём $$f(-x):$$
$$
f(-x)=\frac{\operatorname{ctg}(-x)}{(-x)^2-1}
=\frac{-\operatorname{ctg}x}{x^2-1}
=-f(x).
$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{x^4\cos x}{\tg x+\operatorname{ctg}x}$$
Область определения: $$\tg x$$ и $$\operatorname{ctg}x$$ должны быть определены, а также $$\tg x+\operatorname{ctg}x\ne 0.$$
Найдём $$f(-x):$$
$$
f(-x)=\frac{(-x)^4\cos(-x)}{\tg(-x)+\operatorname{ctg}(-x)}
=\frac{x^4\cos x}{-\tg x-\operatorname{ctg}x}
=-f(x).
$$
Следовательно, функция нечётная.
$$f(x)=\frac{\cos x}{x^3-1}$$
Область определения: $$x^3-1\ne 0,$$ то есть $$x\ne 1.$$
Проверим чётность:
$$
f(-x)=\frac{\cos(-x)}{(-x)^3-1}
=\frac{\cos x}{-x^3-1}.
$$
Это выражение не равно ни $$f(x),$$ ни $$-f(x).$$
Следовательно, функция ни чётная, ни нечётная.
$$f(x)=\tg x+x^2$$
Область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}.$$
Найдём $$f(-x):$$
$$
f(-x)=\tg(-x)+(-x)^2=-\tg x+x^2.
$$
Это выражение не равно ни $$f(x),$$ ни $$-f(x).$$
Следовательно, функция ни чётная, ни нечётная.
$$f(x)=\frac{(2-x)\cos x}{2-x}$$
Область определения: $$2-x\ne 0,$$ то есть $$x\ne 2.$$
На области определения функция равна $$\cos x,$$ но её область определения не симметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни чётной, ни нечётной.