Упр.28.295 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.295. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии (b_n), если b_2=108, b_4=48.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, а $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\qquad b_4=b_1q^3.$$

Найдём $$q$$:

$$q^2=\frac{b_4}{b_2}=\frac{48}{108}=\frac{4}{9},$$

откуда

$$q=\pm \frac{2}{3}.$$

Теперь найдём $$b_1$$:

$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{108}{\pm \frac{2}{3}}=\pm 162.$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии существует, если $$|q|<1$$, что здесь выполняется. Тогда

$$S_\infty=\frac{b_1}{1-q}.$$

При $$q=\frac{2}{3}$$ и $$b_1=162$$:

$$S_\infty=\frac{162}{1-\frac{2}{3}}=\frac{162}{\frac{1}{3}}=486.$$

При $$q=-\frac{2}{3}$$ и $$b_1=-162$$:

$$S_\infty=\frac{-162}{1-(-\frac{2}{3})}=\frac{-162}{\frac{5}{3}}=-97{,}2.$$

Ответ

$$-97{,}2;\ 486.$$