Упр.28.291 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.291. При каком значении х значения выражений 2x-1; x+1 и 5-x являются последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть последовательные члены геометрической прогрессии равны

$$b_1=2x-1,\quad b_2=x+1,\quad b_3=5-x.$$

Для геометрической прогрессии выполняется условие:

$$b_2^2=b_1b_3.$$

Тогда

$$
(x+1)^2=(2x-1)(5-x)
$$

$$
x^2+2x+1=10x-2x^2-5+x
$$

$$
3x^2-9x+6=0
$$

$$
x^2-3x+2=0
$$

$$
(x-1)(x-2)=0
$$

Отсюда

$$x=1 \quad \text{или} \quad x=2.$$

Проверим значения.

Если $$x=1$$, то

$$b_1=2\cdot1-1=1,\quad b_2=1+1=2,\quad b_3=5-1=4.$$

Если $$x=2$$, то

$$b_1=2\cdot2-1=3,\quad b_2=2+1=3,\quad b_3=5-2=3.$$

В обоих случаях получаем последовательные члены геометрической прогрессии.

Ответ

$$x=1,\; 1,2,4;\qquad x=2,\; 3,3,3.$$