Упр.28.29 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.29. Известно, что р и q — нечётные числа. Докажите, что уравнение x^2+px+1=0 не имеет рациональных корней.

Предположим, что уравнение $$x^2+px+1=0$$ имеет рациональный корень. Тогда, так как коэффициенты уравнения целые, второй корень тоже рационален.

Обозначим корни через $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета имеем:

$$x_1x_2=1,$$

$$x_1+x_2=-p.$$

Так как $$p$$ — нечётное число, то сумма корней $$x_1+x_2$$ нечётна.

С другой стороны, из равенства $$x_1x_2=1$$ следует, что рациональные корни могут быть только числами $$1$$ и $$1$$ или $$-1$$ и $$-1$$, то есть в любом случае их сумма чётна.

Получаем противоречие: сумма корней должна быть одновременно чётной и нечётной. Значит, рациональных корней у уравнения нет.

Ответ

Уравнение $$x^2+px+1=0$$ не имеет рациональных корней.