Упр.28.28 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.28. Докажите, что при всех натуральных значениях n дробь (2n^2+5n+3)/(3n^2+10n+8) несократима.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$2n^2+5n+3=(2n+3)(n+1),$$
$$3n^2+10n+8=(3n+4)(n+2).$$

Тогда

$$\frac{2n^2+5n+3}{3n^2+10n+8}=\frac{(2n+3)(n+1)}{(3n+4)(n+2)}.$$

Проверим попарно возможные общие делители множителей:

$$\gcd(2n+3,n+2)=\gcd(2n+3-2(n+2),\,n+2)=\gcd(-1,\,n+2)=1,$$

$$\gcd(2n+3,3n+4)=\gcd(2n+3,\,3n+4- (2n+3))=\gcd(2n+3,\,n+1).$$

Но

$$2n+3-2(n+1)=1,$$

значит,

$$\gcd(2n+3,n+1)=1.$$

Аналогично:

$$\gcd(n+1,3n+4)=\gcd(n+1,\,3n+4-3(n+1))=\gcd(n+1,1)=1,$$

$$\gcd(n+2,3n+4)=\gcd(n+2,\,3n+4-3(n+2))=\gcd(n+2,-2).$$

Так как $$n$$ — натуральное, то $$n+2$$ и $$2n+3$$ не имеют общих делителей с соответствующими множителями, кроме 1. Следовательно, у числителя и знаменателя дроби нет общего натурального делителя, большего 1, то есть дробь несократима.

Ответ

$$\frac{2n^2+5n+3}{3n^2+10n+8}$$ несократима при всех натуральных $$n$$.