Упр.28.276 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.276. При каком значении m значения выражений 3m-1, m^2+1 и m+3 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть последовательные члены арифметической прогрессии равны

$$a_1=3m-1,\quad a_2=m^2+1,\quad a_3=m+3.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних:

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

Тогда

$$m^2+1=\frac{(3m-1)+(m+3)}{2}.$$

Умножим на 2:

$$2m^2+2=4m+2,$$

$$2m^2-4m=0,$$

$$2m(m-2)=0.$$

Отсюда

$$m=0 \text{ или } m=2.$$

Найдём члены прогрессии.

1) При $$m=0$$:

$$a_1=3\cdot 0-1=-1,\quad a_2=0^2+1=1,\quad a_3=0+3=3.$$

2) При $$m=2$$:

$$a_1=3\cdot 2-1=5,\quad a_2=2^2+1=5,\quad a_3=2+3=5.$$

Ответ

$$m=0$$ или $$m=2$$; соответствующие прогрессии: $$-1,\,1,\,3$$ и $$5,\,5,\,5$$.