Упр.28.27 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.27. Найдите все двузначные натуральные числа, любая натуральная степень которых оканчивается двумя цифрами, образующими это двузначное число.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $$\overline{ab}=10a+b,$$ где $$a$$ — цифра десятков, $$b$$ — цифра единиц.

Требуется, чтобы для некоторой натуральной степени число $$\left(\overline{ab}\right)^n$$ оканчивалось цифрами $$ab$$. Значит, последние две цифры степени должны совпадать с самим числом.

Проверим возможные двузначные числа.

1) Для однозначных цифр:

$$5^2=25,\qquad 6^2=36.$$

2) Если число оканчивается на 5, то оно имеет вид $$10a+5.$$ Тогда

$$
(10a+5)^2=100a^2+100a+25.
$$

Чтобы последние две цифры снова были $$25$$, нужно

$$10a+5=25,$$

откуда

$$10a=20,\qquad a=2.$$

Получаем число $$25.$$

3) Если число оканчивается на 6, то оно имеет вид $$10a+6.$$ Тогда

$$
(10a+6)^2=100a^2+120a+36=100(a^2+a)+(20a+36).
$$

Чтобы последние две цифры снова были $$36$$, нужно, чтобы

$$20a+36=36,$$

но это даёт $$a=0,$$ что не подходит для двузначного числа. Поэтому рассмотрим случай, когда последние две цифры после возведения в степень равны самому числу:

$$10a+6=20a+36-100,$$

откуда

$$10a=70,\qquad a=7.$$

Получаем число $$76.$$

Других двузначных чисел, удовлетворяющих условию, нет.

Ответ

$$25,\ 76$$