Упр.28.269 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.269. Определите, сколько корней в зависимости от значения параметра a имеет уравнение |x^2+2|x-2|-4|=a.

Рассмотрим функцию

$$y=\left|x^2+2|x|-4\right|.$$

Нужно определить, сколько решений имеет уравнение $$\left|x^2+2|x|-4\right|=a$$ в зависимости от параметра $$a$$.

Так как левая часть — модуль, то $$y\ge 0$$. Следовательно, при $$a<0$$ корней нет.

Положим $$t=|x|,\ t\ge 0$$. Тогда

$$x^2+2|x|-4=t^2+2t-4.$$

Рассмотрим выражение $$t^2+2t-4$$ на промежутке $$t\ge 0$$. Его нули:

$$t^2+2t-4=0,$$

$$t=-1\pm \sqrt5.$$

Из них подходит только

$$t_0=-1+\sqrt5.$$

Значит, при $$0\le t<-1+\sqrt5$$ выражение $$t^2+2t-4<0$$, а при $$t>-1+\sqrt5$$ оно положительно.

Тогда

$$y=\left|t^2+2t-4\right|$$

имеет минимум $$0$$ при $$t=-1+\sqrt5$$, а при $$t=0$$

$$y(0)=| -4 |=4.$$

Следовательно, на графике функции $$y=\left|x^2+2|x|-4\right|$$:

• при $$0<a<4$$ горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает график в 4 точках;
• при $$a=4$$ — в 3 точках;
• при $$a>4$$ — в 2 точках;
• при $$a=0$$ — в 2 точках;
• при $$a<0$$ — в 0 точках.

Итак, число корней зависит от параметра так:

$$
\begin{cases}
a<0, & \text{корней нет},\\
a=0 \text{ или } a>4, & 2 \text{ корня},\\
0<a<4, & 4 \text{ корня},\\
a=4, & 3 \text{ корня}.
\end{cases}
$$

Ответ

$$
\begin{cases}
a<0, & \text{корней нет},\\
a=0 \text{ или } a>4, & 2 \text{ корня},\\
0<a<4, & 4 \text{ корня},\\
a=4, & 3 \text{корня}.
\end{cases}
$$