Упр.28.268 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.268. Определите, сколько корней в зависимости от значения параметра a имеет уравнение |x^2-6|x|+8|=a.

Рассмотрим функцию $$y=\left|x^2-6|x|+8\right|.$$

Так как выражение зависит от $$|x|,$$ удобно ввести замену $$t=|x|,\quad t\ge 0.$$ Тогда

$$y=\left|t^2-6t+8\right|=\left|(t-2)(t-4)\right|.$$

Найдём, сколько раз горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает график этой функции.

Для $$t\ge 0$$ функция $$\left|(t-2)(t-4)\right|$$ имеет нули при $$t=2$$ и $$t=4,$$ а между ними достигает максимума:

$$\left|(3-2)(3-4)\right|=1.$$

Значит, на полуоси $$t\ge 0$$ график имеет вид: от $$t=0$$ значение $$8,$$ затем убывает до $$0$$ при $$t=2,$$ возрастает до $$1$$ при $$t=3,$$ снова убывает до $$0$$ при $$t=4,$$ после чего возрастает.

Теперь учитываем, что $$t=|x|,$$ поэтому каждому положительному значению $$t$$ соответствуют два значения $$x=\pm t,$$ а значению $$t=0$$ соответствует одно значение $$x=0.$$

Рассмотрим случаи:

• если $$a<0,$$ корней нет;
• если $$a=0,$$ то $$|x|=2$$ или $$|x|=4,$$ значит, корней $$4$$;
• если $$0<a<1,$$ то на полуоси $$t\ge 0$$ есть 4 значения $$t,$$ каждому соответствует два корня $$x,$$ всего $$8$$ корней;
• если $$a=1,$$ то одно значение $$t=3$$ даёт два корня, а ещё по два значения $$t$$ на участках $$[0,2]$$ и $$[4,+\infty)$$, всего $$6$$ корней;
• если $$1<a<8,$$ то на полуоси $$t\ge 0$$ есть 2 значения $$t$$, значит, всего $$4$$ корня;
• если $$a=8,$$ то $$t=0$$ даёт один корень, а ещё $$t=6$$ даёт два корня, всего $$3$$ корня;
• если $$a>8,$$ то на полуоси $$t\ge 0$$ есть 2 значения $$t,$$ значит, всего $$2$$ корня.

Ответ

Если $$a<0,$$ то корней нет; если $$a=0$$ или $$1<a<8,$$ то $$4$$ корня; если $$0<a<1,$$ то $$8$$ корней; если $$a=1,$$ то $$6$$ корней; если $$a=8,$$ то $$3$$ корня; если $$a>8,$$ то $$2$$ корня.