Упр.28.267 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=-x^2+6x-2a, M=[0; 4];
2) f(x)=2x-x^2, M=[a; 2], где a < 2.

1. $$f(x)=-x^2+6x-2a,\quad M=[0;4].$$

   Это парабола, ветви направлены вниз. Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3,$$

   $$f(3)=-9+18-2a=9-2a.$$

   Проверим значения на концах отрезка:

   $$f(0)=-2a,$$

   $$f(4)=-16+24-2a=8-2a.$$

   Так как вершина $$x_0=3$$ принадлежит отрезку $$[0;4],$$ то наибольшее значение функции достигается в вершине, а наименьшее — на одном из концов отрезка. Сравним:

   $$-2a \le 8-2a,$$

   значит, минимум достигается при $$x=0.$$

   Итак,

   $$y_{\min}=-2a,\qquad y_{\max}=9-2a.$$

2. $$f(x)=2x-x^2,\quad M=[a;2],\quad a<2.$$

   Это парабола, ветви направлены вниз. Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,$$

   $$f(1)=2-1=1.$$

   Значения на концах отрезка:

   $$f(a)=2a-a^2=a(2-a),$$

   $$f(2)=4-4=0.$$

   Рассмотрим положение точки $$x=1$$ относительно отрезка $$[a;2].$$

   • Если $$a<0,$$ то отрезок содержит точку $$x=1,$$ и наибольшее значение равно $$1.$$ Минимум достигается в точке $$x=a,$$ так как $$f(a)=2a-a^2<0.$$

   • Если $$0\le a\le 1,$$ то на отрезке $$[a;2]$$ вершина принадлежит промежутку, поэтому $$y_{\max}=1.$$ Наименьшее значение равно $$0,$$ так как $$f(2)=0\le f(a).$$

   • Если $$1<a<2,$$ то функция убывает на всём отрезке $$[a;2],$$ поэтому максимум достигается в точке $$x=a,$$ а минимум — в точке $$x=2.$$

   Следовательно,

   $$
   \begin{cases}
   a<0: & y_{\min}=2a-a^2,\quad y_{\max}=1,\\
   0\le a\le 1: & y_{\min}=0,\quad y_{\max}=1,\\
   1<a<2: & y_{\min}=0,\quad y_{\max}=2a-a^2.
   \end{cases}
   $$

Ответ

1) $$y_{\min}=-2a,\ y_{\max}=9-2a.$$

2) $$
\begin{cases}
a<0: & y_{\min}=2a-a^2,\ y_{\max}=1,\\
0\le a\le 1: & y_{\min}=0,\ y_{\max}=1,\\
1<a<2: & y_{\min}=0,\ y_{\max}=2a-a^2.
\end{cases}
$$