Упр.28.266 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) f(x)=x^2+4x+5a, M=[-1; 1];
2) f(x)=x^2-4x, M=[-1; a], где a > -1.

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+4x+5a$$ на отрезке $$M=[-1;1].$$

Это парабола, ветви направлены вверх, значит на отрезке наименьшее и наибольшее значения достигаются либо в вершине, либо на концах отрезка.

Найдём значения на концах:

$$f(-1)=(-1)^2+4\cdot(-1)+5a=1-4+5a=5a-3,$$

$$f(1)=1^2+4\cdot1+5a=1+4+5a=5a+5.$$

Координата вершины:

$$x_0=-\frac{4}{2\cdot1}=-2.$$

Так как $$-2\notin[-1;1],$$ вершина не принадлежит отрезку, поэтому экстремумы на $$[-1;1]$$ достигаются на концах.

Сравниваем:

$$5a-3<5a+5.$$

Значит,

$$y_{\min}=5a-3,\qquad y_{\max}=5a+5.$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2-4x$$ на множестве $$M=[-1;a],\ a>-1.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Найдём вершину:

$$x_0=-\frac{-4}{2\cdot1}=2,$$

$$f(2)=2^2-4\cdot2=4-8=-4.$$

Значит, если $$2\in[-1;a],$$ то наименьшее значение равно $$-4$$.

Значение на левом конце:

$$f(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=1+4=5.$$

Значение на правом конце:

$$f(a)=a^2-4a.$$

Сравним $$f(a)$$ и $$5$$:

$$a^2-4a\le 5$$

$$a^2-4a-5\le 0$$

$$ (a+1)(a-5)\le 0,$$

откуда

$$-1\le a\le 5.$$

Теперь рассмотрим случаи:

• если $$-1<a\le 2,$$ то вершина не входит в отрезок, и $$y_{\min}=a^2-4a,\ y_{\max}=5$$;
• если $$2\le a\le 5,$$ то вершина входит в отрезок, и $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=5$$;
• если $$a>5,$$ то вершина входит в отрезок, а наибольшее значение достигается в точке $$x=a$$, поэтому $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=a^2-4a.$$

Ответ

1) $$y_{\min}=5a-3,\ y_{\max}=5a+5.$$

2) Если $$-1<a\le 2,$$ то $$y_{\min}=a^2-4a,\ y_{\max}=5.$$ Если $$2\le a\le 5,$$ то $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=5.$$ Если $$a>5,$$ то $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=a^2-4a.$$