Упр.28.264 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.264. Функция g является обратной к функции f(x)=x^3+x-3. Решите уравнение g(x)=x^3+x+3.

Так как функция $$g$$ обратна функции $$f(x)=x^3+x-3,$$ то из уравнения

$$g(x)=x^3+x+3$$

применим к обеим частям функцию $$f$$:

$$f(g(x))=f(x^3+x+3).$$

С одной стороны, $$f(g(x))=x.$$ С другой стороны,

$$f(x^3+x+3)=(x^3+x+3)^3+(x^3+x+3)-3.$$

Тогда

$$x=(x^3+x+3)^3+(x^3+x+3)-3,$$

откуда

$$x=(x^3+x+3)^3+x^3+x.$$

Перенесём $$x$$ в правую часть:

$$0=(x^3+x+3)^3+x^3.$$

Удобнее воспользоваться свойством обратной функции: если $$g(x)=y,$$ то $$f(y)=x.$$ Значит, из

$$g(x)=x^3+x+3$$

получаем

$$f(x^3+x+3)=x.$$

То есть

$$ (x^3+x+3)^3+(x^3+x+3)-3=x.$$

После упрощения:

$$ (x^3+x+3)^3+x^3+x=x,$$

$$ (x^3+x+3)^3+x^3=0.$$

Пусть $$t=x^3+x+3.$$ Тогда $$t^3+x^3=0,$$ то есть

$$t^3=-x^3,$$

$$t=-x.$$

Следовательно,

$$x^3+x+3=-x,$$

$$x^3+2x+3=0.$$

Проверим целые корни. При $$x=-1$$:

$$(-1)^3+2\cdot(-1)+3=-1-2+3=0.$$

Значит, $$x=-1$$ — корень уравнения. Разложим многочлен на множители:

$$x^3+2x+3=(x+1)(x^2-x+3).$$

Для квадратного трёхчлена

$$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot3=1-12=-11<0,$$

поэтому действительных корней у него нет.

Итак, единственное решение:

$$x=-1.$$

Ответ

$$-1$$