Упр.28.26 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.26. Найдите все пары натуральных чисел (m; n) таких, что m!+12=n^2.

Рассмотрим уравнение $$m!+12=n^2,$$ где $$m$$ и $$n$$ — натуральные числа.

Если $$m>4,$$ то в разложении $$m!$$ есть множители $$2$$ и $$3,$$ значит, $$m!$$ делится на $$6$$. Тогда число $$m!+12$$ тоже делится на $$6$$, то есть

$$m!+12 \equiv 0 \pmod 6.$$

Но квадрат натурального числа по модулю $$6$$ может давать только $$0,1,3,$$ или $$4$$. Проверим значения при малых $$m$$:

$$
1!+12=13,\\
2!+12=14,\\
3!+12=18,\\
4!+12=36.
$$

Из них квадратом является только число $$36$$.

Следовательно,

$$m=4,\quad n=\sqrt{36}=6.$$

Ответ

$$ (4;\,6) $$