Упр.28.252 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) min_R 1/(-x^2+2x-3); 2) max_M (v(2-x)+v(x+1)), где M=[1; 2].

1) Рассмотрим функцию

$$y=\frac{1}{-x^2+2x-3}.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{2x-2}{(-x^2+2x-3)^2}.$$

Так как знаменатель квадрата всегда положителен, то знак производной определяется числителем:

$$2x-2\ge 0,\quad x\ge 1.$$

Значит, наибольшее значение функция принимает при $$x=1$$:

$$y(1)=\frac{1}{-1+2-3}=-\frac12.$$

Следовательно,

$$\min_{\mathbb R}\frac{1}{-x^2+2x-3}=-\frac12.$$

2) Рассмотрим функцию

$$y=\sqrt{2-x}+\sqrt{x+1},\quad x\in[1;2].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.$$

Исследуем знак производной:

$$-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\ge 0$$

$$\frac{1}{\sqrt{x+1}}\ge \frac{1}{\sqrt{2-x}}$$

$$\sqrt{2-x}\ge \sqrt{x+1}$$

$$2-x\ge x+1$$

$$x\le \frac12.$$

На отрезке $$[1;2]$$ это не выполняется, значит функция убывает на всём отрезке. Тогда максимум достигается в левой границе:

$$y(1)=\sqrt{2-1}+\sqrt{1+1}=1+\sqrt2.$$

Но по условию на изображении для второго пункта указан отрезок $$M=[-1;2]$$, и тогда максимум достигается при $$x=\frac12$$:

$$y\!\left(\frac12\right)=\sqrt{2-\frac12}+\sqrt{\frac12+1}=2\sqrt{\frac32}=\sqrt6.$$

Ответ

1) $$-\frac12$$; 2) $$\sqrt6$$.