Упр.28.251 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) max_R 1/(x^2+2); 2) min_M x^2/v(x^2-1), где M=(-бесконечность; -1) U (1; +бесконечность).

Подробный ответ

1) Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{x^2+2}.$$

Найдём производную:

$$y'(x)=-\frac{2x}{(x^2+2)^2}.$$

Так как знаменатель всегда положителен, то знак производной определяется знаком числителя:

$$y'(x)\ge 0 \iff -2x\ge 0 \iff x\le 0.$$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$ Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=0$$:

$$y(0)=\frac{1}{0^2+2}=\frac12.$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}, \quad M=(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{2x\sqrt{x^2-1}-x^2\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}$$

После упрощения получаем:

$$y'(x)=\frac{x(x^2-2)}{(x^2-1)^{3/2}}.$$

На области определения $$M$$ знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется выражением $$x(x^2-2).$$

Критические точки: $$x=\pm\sqrt2.$$

На промежутке $$(-\infty;-1)$$ функция убывает до точки $$x=-\sqrt2$$, а затем возрастает; на промежутке $$ (1;+\infty)$$ функция убывает до точки $$x=\sqrt2$$, а затем возрастает. Значит, минимум достигается при $$x=\pm\sqrt2$$:

$$y(\pm\sqrt2)=\frac{(\sqrt2)^2}{\sqrt{(\sqrt2)^2-1}}=\frac{2}{\sqrt{1}}=2.$$