Упр.28.250 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.250. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=2/(x^2-6x+11).

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y=\frac{2}{x^2-6x+11}.$$

Приведём знаменатель к квадрату двучлена:

$$x^2-6x+11=(x-3)^2+2.$$

Так как $$ (x-3)^2 \ge 0, $$ то

$$x^2-6x+11 \ge 2.$$

Следовательно,

$$y=\frac{2}{x^2-6x+11}\le \frac{2}{2}=1.$$

Равенство достигается при $$x=3$$, значит наибольшее значение функции равно $$1$$.

При $$x \to \pm\infty$$ знаменатель неограниченно возрастает, поэтому

$$y=\frac{2}{x^2-6x+11}\to 0.$$