Упр.28.249 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.249. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y=1/(x^2-4x+10).

Рассмотрим функцию

$$y=\frac{1}{x^2-4x+10}.$$

Знаменатель преобразуем к виду полного квадрата:

$$x^2-4x+10=(x-2)^2+6.$$

Так как $$ (x-2)^2 \ge 0, $$ то

$$x^2-4x+10 \ge 6.$$

Следовательно,

$$0<y\le \frac{1}{6}.$$

Равенство $$y=\frac{1}{6}$$ достигается при $$x=2$$, а при $$x\to \pm\infty$$ имеем

$$y=\frac{1}{x^2-4x+10}\to 0.$$

Значит, наибольшое значение функции равно $$\frac{1}{6}$$, а наименьшего значения функция не принимает.

Ответ

$$y_{\max}=\frac{1}{6}, \qquad y_{\min}$$ не существует.