Упр.28.24 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 11 класс, Вентана-Граф, Просвещение: 28.24. Натуральное число n > 1 не делится нацело ни на 2, ни на 3. Докажите, что число n^2-1 кратно 24.

Рассмотрим три последовательных числа: $$n-1,\; n,\; n+1.$$

Так как $$n$$ не делится ни на $$2$$, ни на $$3$$, то:

• среди чисел $$n-1,\; n,\; n+1$$ одно обязательно делится на $$3$$;
• так как $$n$$ нечётное, то числа $$n-1$$ и $$n+1$$ чётные, значит одно из них делится на $$4$$.

Следовательно, произведение $$ (n-1)(n+1) $$ делится на $$8$$, а также на $$3$$. Значит, оно делится на $$24$$.

Но

$$
(n-1)(n+1)=n^2-1.
$$

Следовательно, число $$n^2-1$$ кратно $$24$$.

Ответ

$$n^2-1$$ кратно $$24$$.