Упр.28.239 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=1/(|x|-2); 3) y=1/(|x+1|-2); 5) y=|1/(|x|-1)-2|;
2) y=|1/(x-4)|; 4) y=(|x-2|+1)^2; 6) y=|v(2x+1)-2|.

1. $$y=\frac{1}{|x|-2}$$

   Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{x}$$. Тогда замена $$x \to |x|$$ даёт симметрию относительно оси $$Oy$$, а вычитание 2 в знаменателе сдвигает вертикальные асимптоты к точкам $$x=\pm 2$$.

   График состоит из двух одинаковых ветвей, симметричных относительно оси $$Oy$$. Область определения:

   $$|x|-2\ne 0 \;\Rightarrow\; x\ne \pm 2.$$

2. $$y=\left|\frac{1}{x-4}\right|$$

   Построим график функции $$y=\frac{1}{x}$$, затем сдвинем его на 4 единицы вправо. После этого отрицательную часть графика отразим относительно оси $$Ox$$ вверх.

   Получаем две положительные ветви с вертикальной асимптотой $$x=4$$ и горизонтальной асимптотой $$y=0$$. Область определения:

   $$x\ne 4.$$

3. $$y=\frac{1}{|x+1|-2}$$

   Сначала строим график $$y=\frac{1}{x}$$, затем:

   • сдвигаем его на 2 единицы вправо;
   • отражаем часть графика слева от оси $$Oy$$;
   • сдвигаем полученный график на 1 единицу влево.

   Вертикальные асимптоты находятся из условия:

   $$|x+1|-2=0 \;\Rightarrow\; |x+1|=2 \;\Rightarrow\; x=-3 \text{ или } x=1.$$

   Значит, область определения:

   $$x\ne -3,\; x\ne 1.$$

4. $$y=(|x-2|+1)^2$$

   Построим график $$y=x^2$$. Затем:

   • сдвинем его на 1 единицу влево;
   • уберём часть графика слева от оси $$Oy$$;
   • отразим полученную часть относительно оси $$Oy$$;
   • сдвинем график на 2 единицы вправо.

   Минимум функции достигается при $$x=2$$:

   $$y_{\min}=(|2-2|+1)^2=1.$$

   Следовательно, область значений:

   $$y\ge 1.$$

5. $$y=\left|\frac{1}{|x|-1}-2\right|$$

   Сначала строим график $$y=\frac{1}{x}$$, затем:

   • сдвигаем его на 1 единицу вправо;
   • отражаем часть графика слева от оси $$Oy$$;
   • сдвигаем график на 2 единицы вниз;
   • всю часть графика, оказавшуюся ниже оси $$Ox$$, отражаем вверх.

   Область определения:

   $$|x|-1\ne 0 \;\Rightarrow\; x\ne \pm 1.$$

6. $$y=\left|\sqrt{2x+1}-2\right|$$

   Построим график $$y=\sqrt{x}$$. Затем:

   • сдвинем его на 1 единицу влево;
   • сожмём в 2 раза к оси $$Oy$$;
   • сдвинем на 2 единицы вниз;
   • часть графика ниже оси $$Ox$$ отразим вверх.

   Область определения задаётся условием подкоренного выражения:

   $$2x+1\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge -\frac12.$$

Ответ

1) $$y=\frac{1}{|x|-2},\; x\ne \pm 2$$;
2) $$y=\left|\frac{1}{x-4}\right|,\; x\ne 4$$;
3) $$y=\frac{1}{|x+1|-2},\; x\ne -3,\; x\ne 1$$;
4) $$y=(|x-2|+1)^2,\; y\ge 1$$;
5) $$y=\left|\frac{1}{|x|-1}-2\right|,\; x\ne \pm 1$$;
6) $$y=\left|\sqrt{2x+1}-2\right|,\; x\ge -\frac12$$.