Упр.28.236 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=(-1/3)x^2+2x; 3) y=(2x-1)/(x+2); 5) y=v(x^2+2x+2);
2) y=1/(1+x^2); 4) y=x+1/x; 6) y=5-v(x^2-6x+10).

1. $$y=-\frac13x^2+2x$$

   Это парабола, ветви направлены вниз. Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot\left(-\frac13\right)}=3.$$

   $$y_{\max}=-\frac13\cdot 3^2+2\cdot 3=-3+6=3.$$

   Значит,

   $$E(y)=(-\infty;3].$$

2. $$y=\frac{1}{1+x^2}$$

   Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$1+x^2\ge 1,$$ значит

   $$0<y\le 1.$$

   При $$x=0$$ получаем $$y=1,$$ а при $$|x|\to\infty$$ имеем $$y\to 0.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=(0;1].$$

3. $$y=\frac{2x-1}{x+2}$$

   Преобразуем:

   $$\frac{2x-1}{x+2}=2-\frac{5}{x+2}.$$

   Так как $$\frac{5}{x+2}\ne 0,$$ то $$y\ne 2.$$

   Значит,

   $$E(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

4. $$y=x+\frac1x,\qquad x\ne 0.$$

   Рассмотрим неравенство для области значений:

   $$y=x+\frac1x.$$

   Умножим на $$x$$:

   $$x^2-yx+1=0.$$

   Чтобы уравнение имело действительные корни, дискриминант должен быть неотрицателен:

   $$D=y^2-4\ge 0.$$

   Отсюда

   $$y^2\ge 4,\qquad y\le -2 \text{ или } y\ge 2.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$

5. $$y=\sqrt{x^2+2x+2}$$

   Преобразуем подкоренное выражение:

   $$x^2+2x+2=(x+1)^2+1\ge 1.$$

   Тогда

   $$y\ge 1.$$

   Минимум достигается при $$x=-1$$:

   $$y_{\min}=\sqrt{1}=1.$$

   Значит,

   $$E(y)=[1;+\infty).$$

6. $$y=5-\sqrt{x^2-6x+10}$$

   Преобразуем подкоренное выражение:

   $$x^2-6x+10=(x-3)^2+1\ge 1.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{x^2-6x+10}\ge 1,$$

   а значит

   $$y\le 5-1=4.$$

   При $$x=3$$ получаем $$y=4.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=(-\infty;4].$$

Ответ

1) $$(-\infty;3]$$; 2) $$(0;1]$$; 3) $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$; 5) $$[1;+\infty)$$; 6) $$(-\infty;4]$$.