Упр.28.235 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) f(x)=v(((x+3)(x-2))/x);
2) f(x)=v((x^2-6x+9)/(x^2-5x+4));
3) f(x)=v(v(17-15x-2x^2)/(x+3));
4) f(x)=v(12x^2-4x^3-9x)-v(2-|x|);
5) f(x)=v((7-x)/v(4x^2-19x+12));
6) f(x)=v(|x-1|(3x-6))+3/(x^2+4x-21).
$$f(x)=\sqrt{\frac{(x+3)(x-2)}{x}}$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — не равен нулю:
$$\frac{(x+3)(x-2)}{x}\ge 0,\quad x\ne 0.$$
Рассмотрим знаки множителей. Критические точки: $$x=-3,\;0,\;2.$$
Получаем:
$$D(x)=[-3;0)\cup[2;+\infty).$$
$$f(x)=\sqrt{\frac{x^2-6x+9}{x^2-5x+4}}$$
Требуется:
$$\frac{x^2-6x+9}{x^2-5x+4}\ge 0,\quad x^2-5x+4\ne 0.$$
Разложим на множители:
$$\frac{(x-3)^2}{(x-1)(x-4)}\ge 0.$$
Так как числитель $$ (x-3)^2\ge 0 $$, то дробь неотрицательна при $$x=3$$ и там, где знаменатель положителен:
$$x<1 \quad \text{или} \quad x>4.$$
С учётом точки $$x=3$$:
$$D(x)=(-\infty;1)\cup\{3\}\cup(4;+\infty).$$
$$f(x)=\sqrt{\frac{\sqrt{17-15x-2x^2}}{x+3}}$$
Нужно, чтобы одновременно выполнялись условия:
$$17-15x-2x^2\ge 0,\quad x+3>0.$$
Решим неравенство:
$$2x^2+15x-17\le 0.$$
$$D=15^2+4\cdot 2\cdot 17=361,$$
$$x_1=\frac{-15-19}{4}=-\frac{17}{2},\quad x_2=\frac{-15+19}{4}=1.$$
Тогда
$$x\in\left[-\frac{17}{2};1\right].$$
С учётом $$x>-3$$ получаем:
$$D(x)=(-3;1].$$
$$f(x)=\sqrt{12x^2-4x^3-9x}-\sqrt{2-|x|}$$
Требуется:
$$12x^2-4x^3-9x\ge 0,\quad 2-|x|\ge 0.$$
Первое неравенство:
$$x(12x-4x^2-9)\ge 0,$$
$$x(2x-3)^2\le 0.$$
Отсюда
$$x\le 0 \quad \text{или} \quad x=\frac{3}{2}.$$
Второе неравенство даёт:
$$|x|\le 2,\quad -2\le x\le 2.$$
Пересечение множеств:
$$D(x)=[-2;0]\cup\left\{\frac{3}{2}\right\}.$$
$$f(x)=\sqrt{\frac{7-x}{\sqrt{4x^2-19x+12}}}$$
Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным, а числитель — неотрицательным:
$$4x^2-19x+12>0,\quad 7-x\ge 0.$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$4x^2-19x+12=(4x-3)(x-4).$$
Тогда
$$ (4x-3)(x-4)>0,\quad x\le 7.$$
Отсюда
$$x<\frac{3}{4}\quad \text{или} \quad x>4.$$
С учётом $$x\le 7$$ получаем:
$$D(x)=(-\infty;\tfrac{3}{4})\cup(4;7].$$
$$f(x)=\sqrt{|x-1|(3x-6)}+\frac{3}{x^2+4x-21}$$
Для корня нужно:
$$|x-1|(3x-6)\ge 0.$$
Так как $$|x-1|\ge 0$$, то неравенство выполняется при
$$3x-6\ge 0 \quad \text{или} \quad x=1.$$
То есть
$$x\ge 2 \quad \text{или} \quad x=1.$$
Для дроби знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$x^2+4x-21\ne 0,$$
$$ (x+7)(x-3)\ne 0,$$
$$x\ne -7,\quad x\ne 3.$$
Итак,
$$D(x)=\{1\}\cup[2;3)\cup(3;+\infty).$$
Ответ
1) $$[-3;0)\cup[2;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;1)\cup\{3\}\cup(4;+\infty)$$; 3) $$(-3;1]$$; 4) $$[-2;0]\cup\left\{\frac{3}{2}\right\}$$; 5) $$(-\infty;\tfrac{3}{4})\cup(4;7]$$; 6) $$\{1\}\cup[2;3)\cup(3;+\infty)$$.
