Упр.28.231 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) {(x+2y > 1, x-y < 3); 2) {(x^2+y^2 < 1, (x+1)^2+y^2 < 1).

1. Рассмотрим систему

   $$
   \begin{cases}
   x+2y>1,\\
   x-y\le 3.
   \end{cases}
   $$

   Преобразуем неравенства к виду $$y=\dots$$:

   $$
   x+2y>1 \;\Rightarrow\; 2y>1-x \;\Rightarrow\; y>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x,
   $$

   $$
   x-y\le 3 \;\Rightarrow\; -y\le 3-x \;\Rightarrow\; y\ge x-3.
   $$

   Искомое множество — пересечение двух полуплоскостей: выше прямой $$y=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$$ без самой прямой и выше прямой $$y=x-3$$ вместе с самой прямой.

2. Рассмотрим систему

   $$
   \begin{cases}
   x^2+y^2\le 1,\\
   (x+1)^2+y^2\le 1.
   \end{cases}
   $$

   Первое неравенство задаёт круг с центром $$O(0,0)$$ и радиусом $$1$$.

   Второе неравенство задаёт круг с центром $$A(-1,0)$$ и радиусом $$1$$.

   Нужно изобразить их общую часть — пересечение двух замкнутых кругов. Границы входят в множество решений.

Ответ

1) Пересечение полуплоскостей $$y>\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$$ и $$y\ge x-3$$.

2) Общая часть кругов $$x^2+y^2\le 1$$ и $$ (x+1)^2+y^2\le 1$$.