Упр.28.230 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y < |x-3|+1; 3) (x-y)|x| < 0; 2) |x-2|-|y+1| > 2; 4) (x^2+y^2-1)/y^2 > 0.

1. $$y<|x-3|+1$$

   Раскроем модуль по случаям:

   $$\begin{cases}
   x\ge 3,\quad y<x-2,\\
   x<3,\quad y<4-x.
   \end{cases}$$

   Граница — ломаная $$y=|x-3|+1$$, она не входит в решение, поэтому изображается пунктиром.

2. $$|x-2|-|y+1|>2$$

   Рассмотрим области, где выражения под модулем неотрицательны:

   $$x\ge 2,\ y\ge -1 \Rightarrow x-2-(y+1)>2 \Rightarrow y<x-5.$$

   Аналогично получаем симметричные области, и в итоге границей служат прямые

   $$y=x-5 \quad \text{и} \quad y=-x+3,$$

   а решение — две внешние области по обе стороны от «угла».

3. $$ (x-y)|x|<0 $$

   Так как $$|x|\ge 0$$, то при $$x=0$$ левая часть равна нулю, а при $$x\ne 0$$ знак произведения определяется знаком $$x-y$$.

   Если $$x>0$$, то
   $$x-y<0 \Rightarrow y>x.$$

   Если $$x<0$$, то
   $$x-y<0 \Rightarrow y>x.$$

   Итак, решение задаётся неравенством

   $$y>x,$$

   граница $$y=x$$ не входит.

4. $$\frac{x^2+y^2-1}{y^2}\ge 0$$

   Область определения: $$y\ne 0$$.

   Так как $$y^2>0$$ при $$y\ne 0$$, знак дроби определяется числителем:

   $$x^2+y^2-1\ge 0 \Rightarrow x^2+y^2\ge 1.$$

   Но точки с $$y=0$$ исключаются, поэтому нужно взять все точки вне круга радиуса $$1$$ и убрать точки на оси $$Ox$$.

Ответ

1) область ниже графика $$y=|x-3|+1$$;
2) область, задаваемая неравенством $$|x-2|-|y+1|>2$$;
3) $$y>x$$;
4) $$x^2+y^2\ge 1,\ y\ne 0$$.