Упр.28.229 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) x > |y+2|-2; 3) (x+y)|y| > 0;
2) |x| < |y^2-2y|; 4) (x^2+y^2-1)y^2 < 0.

Подробный ответ

$$x>|y+2|-2$$
Рассмотрим два случая:
если $$y\ge -2,$$ то $$|y+2|=y+2,$$ значит
$$x>y+2-2,\quad x>y,\quad y<x.$$
если $$y<-2,$$ то $$|y+2|=-(y+2)=-y-2,$$ значит
$$x>-y-2-2,\quad x>-y-4,\quad y>-x-4.$$
Итак, искомая область — объединение полуплоскостей, лежащих правее ломаной $$x=|y+2|-2.$$
$$|x|<|y^2-2y|$$
Так как $$|x|<a$$ равносильно $$-a<x<a,$$ получаем
$$-|y^2-2y|<x<|y^2-2y|.$$
Удобно рассмотреть знак выражения $$y^2-2y=y(y-2).$$
Если $$y\le 0$$ или $$y\ge 2,$$ то $$|y^2-2y|=y^2-2y,$$ и
$$|x|<y^2-2y.$$
Если $$0<y<2,$$ то $$|y^2-2y|=2y-y^2,$$ и
$$|x|<2y-y^2.$$
Граница области задаётся кривыми $$x=\pm|y^2-2y|,$$ а сама область лежит между ними.
$$ (x+y)|y|>0 $$
Так как $$|y|\ge 0,$$ то произведение положительно только при $$y\ne 0$$ и $$x+y$$ имеет тот же знак, что и $$|y|.$$
Если $$y>0,$$ то $$|y|=y,$$ и
$$ (x+y)y>0 \;\Rightarrow\; x+y>0 \;\Rightarrow\; y>-x.$$
Если $$y<0,$$ то $$|y|=-y,$$ и
$$ (x+y)(-y)>0 \;\Rightarrow\; x+y<0 \;\Rightarrow\; y>-x.$$
Следовательно, решение неравенства:
$$y>-x,\quad y\ne 0.$$
Графически это полуплоскость выше прямой $$y=-x$$ без точек на оси $$Ox$$.
$$ (x^2+y^2-1)y^2<0 $$
Так как $$y^2\ge 0,$$ то произведение может быть отрицательным только при
$$y^2>0 \quad \text{и} \quad x^2+y^2-1<0.$$
Отсюда
$$y\ne 0,\qquad x^2+y^2<1.$$
Значит, искомая область — внутренняя часть круга $$x^2+y^2<1$$ без точки пересечения с осью $$Ox$$, то есть без диаметра $$y=0.$$