Упр.28.227 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x-1)^2=(x+2y)^2; 5) |y+1|+|x-2|=2;
2) x|y|=x^2; 6) (|x|-1)^2+(|y|-3)^2=4;
3) x+2=v|y-1|; 7) ((x^2-4)(x+y))/(y^2-1)=0.
4) |y|-1=vx;

1. $$ (x-1)^2=(x+2y)^2 $$

   Равенство квадратов даёт два случая:

   $$
   x-1=x+2y \quad \text{или} \quad x-1=-(x+2y)
   $$

   $$
   2y=-1 \Rightarrow y=-\frac12
   $$

   $$
   2x+2y=1 \Rightarrow x+y=\frac12 \Rightarrow y=\frac12-x
   $$

   График — объединение прямых $$y=-\frac12$$ и $$y=\frac12-x$$.

2. $$x|y|=x^2$$

   Рассмотрим случаи по знаку $$y$$:

   если $$y>0$$, то $$x y=x^2$$, откуда либо $$x=0$$, либо $$y=x$$;

   если $$y<0$$, то $$-xy=x^2$$, откуда либо $$x=0$$, либо $$y=-x$$;

   если $$y=0$$, то $$0=x^2$$, значит $$x=0$$.

   Итак, график состоит из лучей $$y=x$$ при $$x\ge 0$$, $$y=-x$$ при $$x\ge 0$$ и точки $$\left(0,0\right)$$.

3. $$x+2=\sqrt{|y-1|}$$

   Так как правая часть неотрицательна, то

   $$x+2\ge 0,\quad x\ge -2.$$

   Возведём в квадрат:

   $$
   |y-1|=(x+2)^2
   $$

   Отсюда

   $$
   y-1=(x+2)^2 \quad \text{или} \quad y-1=-(x+2)^2
   $$

   $$
   y=x^2+4x+5 \quad \text{или} \quad y=-x^2-4x-3,\quad x\ge -2
   $$

4. $$|y|-1=\sqrt{x}$$

   Область определения: $$x\ge 0$$.

   Если $$y\ge 0$$, то

   $$
   y-1=\sqrt{x}\Rightarrow y=\sqrt{x}+1
   $$

   Если $$y<0$$, то

   $$
   -y-1=\sqrt{x}\Rightarrow y=-\sqrt{x}-1
   $$

   График — две ветви: $$y=\sqrt{x}+1$$ и $$y=-\sqrt{x}-1$$ при $$x\ge 0$$.

5. $$|y+1|+|x-2|=2$$

   Это уравнение задаёт ромб с центром в точке $$\left(2,-1\right)$$.

   Вершины ромба находятся на расстоянии 2 по осям от центра:

   $$
   \left(2,1\right),\ \left(4,-1\right),\ \left(2,-3\right),\ \left(0,-1\right)
   $$

6. $$\left(|x|-1\right)^2+\left(|y|-3\right)^2=4$$

   Пусть $$u=|x|$$, $$v=|y|$$. Тогда

   $$
   (u-1)^2+(v-3)^2=4
   $$

   Это окружность с центром $$\left(1,3\right)$$ и радиусом $$2$$ в первой четверти, а исходный график получается отражением этой окружности относительно осей координат.

7. $$\frac{(x^2-4)(x+y)}{y^2-1}=0$$

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

   $$
   (x^2-4)(x+y)=0,\quad y^2-1\ne 0
   $$

   Отсюда

   $$
   x^2-4=0 \Rightarrow x=\pm 2
   $$

   или

   $$
   x+y=0 \Rightarrow y=-x
   $$

   При этом нужно исключить точки, где $$y=\pm 1$$.

Ответ

1) $$y=-\frac12$$ или $$y=\frac12-x$$;
2) $$y=x,\ x\ge 0$$; $$y=-x,\ x\ge 0$$; точка $$\left(0,0\right)$$;
3) $$y=x^2+4x+5,\ x\ge -2$$ или $$y=-x^2-4x-3,\ x\ge -2$$;
4) $$y=\sqrt{x}+1,\ x\ge 0$$ или $$y=-\sqrt{x}-1,\ x\ge 0$$;
5) ромб с вершинами $$\left(2,1\right),\ \left(4,-1\right),\ \left(2,-3\right),\ \left(0,-1\right)$$;
6) четыре окружности, получающиеся отражением окружности $$\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=4$$ относительно осей;
7) $$x=\pm 2$$ или $$y=-x$$, при $$y\ne \pm 1$$.