Упр.28.225 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) x^2+25y^2-6xy-24y+9=0; 2) 9-x^2=v(3+|y|).

Подробный ответ

Преобразуем левую часть уравнения к сумме квадратов:
$$x^2+25y^2-6xy-24y+9=0$$
$$x^2-6xy+9y^2+16y^2-24y+9=0$$
$$\left(x-3y\right)^2+\left(4y-3\right)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x-3y=0,\qquad 4y-3=0$$
$$y=\frac34,\qquad x=3y=\frac94$$
Во втором уравнении подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$3-x^2=\sqrt{9+|y|}$$
Правая часть неотрицательна, значит и левая часть неотрицательна. Возведём в квадрат:
$$\left(3-x^2\right)^2=9+|y|$$
Но удобнее заметить, что при равенстве числа и корня должно выполняться:
$$3-x^2\ge 0,\qquad \sqrt{9+|y|}\ge 0$$
Чтобы равенство выполнялось, достаточно проверить случай, когда обе части равны нулю:
$$3-x^2=0,\qquad 9+|y|=9$$
$$x^2=3,\qquad |y|=0$$
$$x=\pm\sqrt3,\qquad y=0$$
Проверка показывает, что при этих значениях левая часть равна нулю, а правая — $$3$$, поэтому нужно учитывать исходное уравнение точнее. Из него следует:
$$3-x^2=\sqrt{9+|y|}$$
Если $$y=0$$, то получаем $$3-x^2=3$$, откуда $$x=0$$.
Пара $$\left(0,0\right)$$ подходит.