Упр.28.224 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 13x^2-12xy+4y^2-4x+1=0; 2) |y|+2=v(4-x^2).

1. Преобразуем левую часть уравнения:

   $$13x^2-12xy+4y^2-4x+1=(9x^2-12xy+4y^2)+(4x^2-4x+1).$$

   Тогда

   $$9x^2-12xy+4y^2+4x^2-4x+1=0,$$

   $$ (3x-2y)^2+(2x-1)^2=0.$$

   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:

   $$3x-2y=0,\qquad 2x-1=0.$$

   Отсюда

   $$x=\frac12,\qquad y=\frac34.$$

2. Рассмотрим уравнение

   $$|y|+2=\sqrt{4-x^2}.$$

   Так как $$|y|\ge 0,$$ то левая часть не меньше 2. Значит, и правая часть должна быть не меньше 2:

   $$\sqrt{4-x^2}\ge 2.$$

   Но при этом всегда $$\sqrt{4-x^2}\le 2,$$ поэтому возможно только

   $$\sqrt{4-x^2}=2,\qquad |y|+2=2.$$

   Тогда

   $$4-x^2=4,\qquad |y|=0,$$

   откуда

   $$x=0,\qquad y=0.$$

Ответ

1) $$\left(\frac12;\frac34\right)$$; 2) $$(0;0)$$.