Упр.28.223 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) v(3x+5) > v(4x-3); 7) (x-7)v(x^2-3x+18) > 0;
2) v(x^2-4x-5) < v(x+9); 8) (x^2-10x+9)v(x^2-6x-16) > 0;
3) v(x^2+6x) < x+2; 9) x^2-x+3v(x^2-x-2)-12 < 0;
4) v(12+x-x^2) < x+3; 10) v(5-x)+2v(13-x) < 7;
5) v(x^2+6x+8) > x+4; 11) v(x-4)+v(14-x) < 4;
6) v(4x^2-7) > 5-x; 12) v(x+13)-v(x+6) > 1.
$$\sqrt{3x+5}>\sqrt{4x-3}$$
Так как функция $$\sqrt{x}$$ возрастает, получаем:
$$3x+5>4x-3 \Rightarrow x<8.$$
Область определения:
$$4x-3\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac34.$$
Тогда
$$x\in \left[\frac34;8\right).$$
$$\sqrt{x^2-4x-5}<\sqrt{x+9}$$
Сравним подкоренные выражения:
$$x^2-4x-5<x+9 \Rightarrow x^2-5x-14<0.$$
$$x^2-5x-14=(x+2)(x-7),$$
поэтому
$$-2<x<7.$$
Область определения:
$$x^2-4x-5\ge 0 \Rightarrow (x+1)(x-5)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 5.$$
Пересечение даёт:
$$x\in (-2;-1]\cup [5;7).$$
$$\sqrt{x^2+6x}\le x+2$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -2.$$
Возводим в квадрат:
$$x^2+6x\le (x+2)^2$$
$$x^2+6x\le x^2+4x+4$$
$$2x\le 4 \Rightarrow x\le 2.$$
Также из области определения:
$$x^2+6x\ge 0 \Rightarrow x(x+6)\ge 0.$$
С учётом $$x\ge -2$$ получаем $$x\ge 0.$$
Итак,
$$x\in [0;2].$$
$$\sqrt{12+x-x^2}<x+3$$
Правая часть неотрицательна:
$$x+3>0 \Rightarrow x>-3.$$
Возводим в квадрат:
$$12+x-x^2<(x+3)^2$$
$$12+x-x^2<x^2+6x+9$$
$$2x^2+5x-3>0.$$
$$2x^2+5x-3=(2x-1)(x+3),$$
значит
$$x<-3 \text{ или } x>\frac12.$$
Область определения:
$$12+x-x^2\ge 0 \Rightarrow (x+3)(4-x)\ge 0,$$
откуда
$$-3\le x\le 4.$$
Пересечение даёт:
$$x\in \left(\frac12;4\right].$$
$$\sqrt{x^2+6x+8}\ge x+4$$
Правая часть должна быть неотрицательной:
$$x+4\ge 0 \Rightarrow x\ge -4.$$
Возводим в квадрат:
$$x^2+6x+8\ge (x+4)^2$$
$$x^2+6x+8\ge x^2+8x+16$$
$$2x\le -8 \Rightarrow x\le -4.$$
Совместно с ОДЗ получаем:
$$x=-4.$$
$$\sqrt{4x^2-7}\ge 5-x$$
Если $$5-x\le 0,$$ то неравенство выполняется при всех $$x$$ из ОДЗ. Тогда
$$x\ge 5.$$
Если $$5-x>0,$$ возводим в квадрат:
$$4x^2-7\ge (5-x)^2$$
$$3x^2+10x-32\ge 0.$$
$$3x^2+10x-32=(3x+16)(x-2),$$
откуда
$$x\le -\frac{16}{3} \text{ или } x\ge 2.$$
Область определения:
$$4x^2-7\ge 0 \Rightarrow x\le -\frac{\sqrt7}{2} \text{ или } x\ge \frac{\sqrt7}{2}.$$
Итог:
$$x\in \left(-\infty;-\frac{16}{3}\right]\cup [2;+\infty).$$
$$\left(x-7\right)\sqrt{x^2-3x+18}\ge 0$$
Подкоренное выражение всегда положительно, так как
$$D=3^2-4\cdot 18=9-72<0.$$
Значит, $$\sqrt{x^2-3x+18}>0$$ при всех $$x$$, и знак произведения определяется множителем $$x-7$$:
$$x-7\ge 0 \Rightarrow x\ge 7.$$
$$\left(x^2-10x+9\right)\sqrt{x^2-6x-16}\ge 0$$
Разложим на множители:
$$x^2-10x+9=(x-1)(x-9),$$
$$x^2-6x-16=(x-8)(x+2).$$
Область определения:
$$x^2-6x-16\ge 0 \Rightarrow x\le -2 \text{ или } x\ge 8.$$
Так как $$\sqrt{x^2-6x-16}\ge 0,$$ нужно, чтобы
$$x^2-10x+9\ge 0 \Rightarrow x\le 1 \text{ или } x\ge 9.$$
Пересечение даёт:
$$x\in (-\infty;-2]\cup \{8\}\cup [9;+\infty).$$
$$x^2-x+3\sqrt{x^2-x-2}-12<0$$
Пусть
$$t=\sqrt{x^2-x-2}, \quad t\ge 0.$$
Тогда
$$t^2+3t-10<0,$$
$$ (t+5)(t-2)<0,$$
откуда
$$0\le t<2.$$
Значит,
$$\sqrt{x^2-x-2}<2,$$
$$x^2-x-2<4,$$
$$x^2-x-6<0,$$
$$ (x+2)(x-3)<0,$$
$$-2<x<3.$$
Область определения:
$$x^2-x-2\ge 0,$$
$$ (x+1)(x-2)\ge 0,$$
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 2.$$
Пересечение:
$$x\in (-2;-1]\cup [2;3).$$
$$\sqrt{5-x}+2\sqrt{13-x}<7$$
Возведём в квадрат:
$$5-x+4\sqrt{(5-x)(13-x)}+4(13-x)<49$$
$$4\sqrt{(5-x)(13-x)}<5x-8.$$
Правая часть должна быть положительной:
$$5x-8>0 \Rightarrow x>\frac85.$$
После возведения в квадрат:
$$16(5-x)(13-x)<(5x-8)^2$$
$$9x^2+208x-976>0.$$
$$9x^2+208x-976=(9x-36)\left(x+\frac{244}{9}\right),$$
откуда
$$x<-\frac{244}{9} \text{ или } x>4.$$
С учётом области определения $$x\le 5$$ и $$x\le 13$$ получаем:
$$x\in (4;5].$$
$$\sqrt{x-4}+\sqrt{14-x}<4$$
Возведём в квадрат:
$$x-4+2\sqrt{(x-4)(14-x)}+14-x<16$$
$$2\sqrt{(x-4)(14-x)}<6$$
$$\sqrt{(x-4)(14-x)}<3.$$
Тогда
$$ (x-4)(14-x)<9,$$
$$-x^2+18x-56<9,$$
$$x^2-18x+65>0.$$
$$x^2-18x+65=(x-5)(x-13),$$
значит
$$x<5 \text{ или } x>13.$$
Область определения:
$$x\ge 4,\quad x\le 14.$$
Итог:
$$x\in [4;5)\cup (13;14].$$
$$\sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}>1$$
Перенесём и возведём в квадрат:
$$x+13-2\sqrt{(x+13)(x+6)}+x+6>1$$
$$2\sqrt{(x+13)(x+6)}<2x+18$$
$$\sqrt{x^2+19x+78}<x+9.$$
Правая часть должна быть положительной:
$$x+9>0 \Rightarrow x>-9.$$
После возведения в квадрат:
$$x^2+19x+78<(x+9)^2$$
$$x<3.$$
Область определения:
$$x+13\ge 0,\quad x+6\ge 0,$$
то есть $$x\ge -6.$$
Следовательно,
$$x\in [-6;3).$$
Ответ
1) $$\left[\frac34;8\right)$$; 2) $$(-2;-1]\cup [5;7)$$; 3) $$[0;2]$$; 4) $$\left(\frac12;4\right]$$; 5) $$-4$$; 6) $$\left(-\infty;-\frac{16}{3}\right]\cup [2;+\infty)$$; 7) $$[7;+\infty)$$; 8) $$(-\infty;-2]\cup \{8\}\cup [9;+\infty)$$; 9) $$(-2;-1]\cup [2;3)$$; 10) $$[4;5)$$; 11) $$[4;5)\cup (13;14]$$; 12) $$[-6;3)$$.
