Упр.28.222 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (a-1)v(x-3)=0; 3) (x^2+4x-5)(vx-a)=0.
2) (x^2-4x+3)v(x-a)=0;

1. $$ (a-1)\sqrt{x-3}=0 $$
   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
   $$ a-1=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x-3}=0. $$
   Отсюда
   $$ a=1 \quad \text{или} \quad x-3=0,\; x=3. $$
   Но подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
   $$ x-3\ge 0,\quad x\ge 3. $$
   Значит, при $$a=1$$ уравнение имеет все решения $$x\ge 3$$, а при $$a\ne 1$$ остаётся только $$x=3$$.
2. $$ (x^2-4x+3)\sqrt{x-a}=0 $$
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:
   $$ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). $$
   Тогда
   $$ (x-1)(x-3)\sqrt{x-a}=0. $$
   Произведение равно нулю, если
   $$ x=1 \quad \text{или} \quad x=3 \quad \text{или} \quad x=a. $$
   Область определения:
   $$ x-a\ge 0,\quad x\ge a. $$
   Поэтому:
   • если $$a<1$$, то подходят $$x=a,\; x=1,\; x=3$$;
   • если $$1\le a<3$$, то $$x=1$$ не подходит, и остаются $$x=a,\; x=3$$;
   • если $$a\ge 3$$, то из корней подходит только $$x=a$$.
3. $$ (x^2+4x-5)(\sqrt{x}-a)=0 $$
   Разложим первый множитель:
   $$ x^2+4x-5=(x+5)(x-1). $$
   Тогда
   $$ (x+5)(x-1)(\sqrt{x}-a)=0. $$
   Из первых двух множителей получаем
   $$ x=-5 \quad \text{или} \quad x=1. $$
   Но область определения задаётся корнем:
   $$ x\ge 0. $$
   Поэтому корень $$x=-5$$ не подходит, остаётся $$x=1$$.
   Из третьего множителя:
   $$ \sqrt{x}-a=0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x}=a \quad \Rightarrow \quad x=a^2, $$
   причём это возможно только при $$a\ge 0$$.
   Значит:
   • если $$a<0$$ или $$a=1$$, то решение одно: $$x=1$$;
   • если $$a\ge 0$$ и $$a\ne 1$$, то решения: $$x=1$$ и $$x=a^2$$.

Ответ

1) если $$a=1$$, то $$x\ge 3$$; если $$a\ne 1$$, то $$x=3$$.
2) если $$a<1$$, то $$x=a,\;1,\;3$$; если $$1\le a<3$$, то $$x=a,\;3$$; если $$a\ge 3$$, то $$x=a$$.
3) если $$a<0$$ или $$a=1$$, то $$x=1$$; если $$a\ge 0$$ и $$a\ne 1$$, то $$x=1,\;a^2$$.