Упр.28.220 ГДЗ Мерзляк 11 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) vx-3x^(1/4)+2=0; 4) x^2-16x-v(x^2-16x+8)=12;
2) 2x^(1/3)+5x^(1/6)-3=0; 5) v((3x)/(x-1))-2v((x-1)/(3x))=1;
3) (4-4x+x^2)^(1/3)-(2-x)^(1/3)-2=0; 6) v(3x^2-6x+7)=7+2-x^2.

1. $$\sqrt{x}-3\sqrt[4]{x}+2=0.$$

   Пусть $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-3t+2=0$$
   $$\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0$$
   $$t=1 \text{ или } t=2.$$

   Тогда

   $$x=1^4=1,\qquad x=2^4=16.$$

2. $$2\sqrt[3]{x}+5\sqrt[6]{x}-3=0.$$

   Пусть $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2$$. Получаем:

   $$2t^2+5t-3=0$$
   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49$$
   $$t_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{4}.$$

   Отсюда

   $$t_1=-3,\qquad t_2=\frac12.$$

   Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0$$, подходит только $$t=\frac12$$. Тогда

   $$x=\left(\frac12\right)^6=\frac1{64}.$$

3. $$\sqrt[3]{4-4x+x^2}-\sqrt[3]{2-x}-2=0.$$

   Заметим, что

   $$4-4x+x^2=(2-x)^2.$$

   Пусть $$y=\sqrt[3]{2-x}$$. Тогда

   $$\sqrt[3]{(2-x)^2}=y^2,$$
   и уравнение принимает вид
   $$y^2-y-2=0.$$
   $$\left(y-2\right)\left(y+1\right)=0$$
   $$y=2 \text{ или } y=-1.$$

   1) $$\sqrt[3]{2-x}=2$$, значит

   $$2-x=8,\qquad x=-6.$$

   2) $$\sqrt[3]{2-x}=-1$$, значит

   $$2-x=-1,\qquad x=3.$$

4. $$x^2-16x-\sqrt{x^2-16x+8}=12.$$

   Пусть $$y=\sqrt{x^2-16x+8}$$. Тогда

   $$x^2-16x+8=y^2,$$
   а исходное уравнение перепишется так:
   $$y^2-8-y=12,$$
   $$y^2-y-20=0.$$
   $$\left(y-5\right)\left(y+4\right)=0$$
   $$y=5 \text{ или } y=-4.$$

   Так как $$y=\sqrt{x^2-16x+8}\ge 0$$, берём только $$y=5$$:

   $$x^2-16x+8=25,$$
   $$x^2-16x-17=0.$$
   $$D=16^2+4\cdot 17=256+68=324$$
   $$x_{1,2}=\frac{16\pm 18}{2}.$$
   $$x_1=-1,\qquad x_2=17.$$

5. $$\sqrt{\frac{3x}{x-1}}-2\sqrt{\frac{x-1}{3x}}=1.$$

   Пусть

   $$y=\sqrt{\frac{3x}{x-1}}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{\frac{x-1}{3x}}=\frac1y,$$
   и получаем:
   $$y-\frac{2}{y}=1.$$
   $$y^2-y-2=0$$
   $$\left(y-2\right)\left(y+1\right)=0$$
   $$y=2 \text{ или } y=-1.$$

   Так как $$y\ge 0$$, подходит только $$y=2$$:

   $$\sqrt{\frac{3x}{x-1}}=2,$$
   $$\frac{3x}{x-1}=4,$$
   $$3x=4x-4,$$
   $$x=4.$$

6. $$\sqrt{3x^2-6x+7}=7+2x-x^2.$$

   Правая часть должна быть неотрицательной. Обозначим

   $$y=\sqrt{3x^2-6x+7}.$$

   Тогда

   $$y=7+2x-x^2.$$

   Из равенства

   $$y^2=3x^2-6x+7$$

   и подстановки получаем уравнение относительно $$y$$:

   $$y=-\frac13y^2+\frac73+7,$$
   $$3y=-y^2+28,$$
   $$y^2+3y-28=0.$$
   $$\left(y-4\right)\left(y+7\right)=0$$
   $$y=4 \text{ или } y=-7.$$

   Так как $$y\ge 0$$, берём $$y=4$$:

   $$\sqrt{3x^2-6x+7}=4,$$
   $$3x^2-6x+7=16,$$
   $$3x^2-6x-9=0,$$
   $$x^2-2x-3=0,$$
   $$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0.$$
   $$x=3 \text{ или } x=-1.$$

Ответ

1) $$1,\,16$$; 2) $$\frac{1}{64}$$; 3) $$-6,\,3$$; 4) $$-1,\,17$$; 5) $$4$$; 6) $$-1,\,3$$.